Question

Дифференциальное уравнение! (x+2y)dx-(2x+y)dy=0

Answer 1

Ответ:

$(x+2y)\, dx-(2x+y)\, dy=0\\\\(x+2y)\, dx=(2x+y)\, dy\ \ ,\ \ \ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+2y}{2x+y}\ \ ,\ \ y'=\dfrac{x+2y}{2x+y}\ \ ,\\\\\\u=\dfrac{y}{x}\ \ ,\ \ y=ux\ \ ,\ \ y'=u'x+u\\\\\\u'x+u=\dfrac{x+2ux}{2x+ux}\ \ ,\ \ \ u'x=\dfrac{1+2u}{2+u}-u\ \ ,\ \ \ u'x=\dfrac{1+2u-2u-u^2}{2+u}\ ,\\\\\\u'x=\dfrac{1-u^2}{2+u}\ \ ,\ \ \ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1-u^2}{x\, (2+u)}\ \ ,\ \ \ \int \dfrac{(2+u)\, du}{1-u^2}=\dfrac{dx}{x}\ \ ,$

$\int \dfrac{2\, du}{1-u^2}-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{-2u}{1-u^2}=\dfrac{dx}{x}\ \ ,\\\\\\2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot ln\Big|\, \dfrac{1+u}{1-u}\, \Big|-\dfrac{1}{2}\cdot ln|1-u^2|=ln|x|+lnC\\\\\\ln\Big|\, \dfrac{1+\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}}}\, \Big|-\dfrac{1}{2}\cdot ln\Big|\, 1-\dfrac{y^2}{x^2}\, \Big| =ln|x|+lnC\\\\\\ln\Big|\, \dfrac{x+y}{x-y}\, \Big|-\dfrac{1}{2}\cdot ln\Big|\, \dfrac{x^2-y^2}{x^2}\, \Big|=ln(C|x|)$

$\dfrac{(x+y)\cdot \sqrt{x^2}}{(x-y)\sqrt{x^2-y^2}}=Cx\ \ ,\ \ \ \dfrac{(x+y)\cdot x}{(x-y)\sqrt{(x-y)(x+y)}}=Cx\ \ ,\\\\\\\dfrac{\sqrt{x+y}\cdot x}{x-y}=Cx\ \ \ \to \ \ \ \ \ \boxed{\ \sqrt{x+y}=C(x-y)\ }$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения (x + 2y)dx - (2x + y)dy = 0, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Давайте выполним следующие шаги:

1. Переносим все члены уравнения на одну сторону, чтобы получить уравнение вида dy/dx = f(x, y):

   (x + 2y)dx - (2x + y)dy = 0

   (x + 2y)dx = (2x + y)dy

   dy/dx = (x + 2y) / (2x + y)

2. Теперь давайте попробуем разделить переменные, перемещая выражения с y на одну сторону и с x на другую:

   dy / (2x + y) = (x + 2y) / dx

3. Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

   ∫(1 / (2x + y)) dy = ∫(x + 2y) dx

4. Вычисляем интегралы:

   Левая сторона: Можно воспользоваться методом интегрирования по подстановке. Проведем подстановку z = 2x + y. Тогда dz = 2dx + dy.

   ∫(1 / z) dy = (1/2) ∫(1/z) dz = (1/2)ln|z| + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

   Правая сторона: ∫(x + 2y) dx = (1/2)x^2 + y^2 + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

5. Теперь объединяем выражения:

   (1/2)ln|2x + y| + C1 = (1/2)x^2 + y^2 + C2

6. Можно объединить константы интегрирования C1 и C2 в одну константу:

   (1/2)ln|2x + y| = (1/2)x^2 + y^2 + C

7. Для упрощения можно избавиться от 1/2:

   ln|2x + y| = x^2 + y^2 + C

8. Чтобы избавиться от логарифма, возведем обе стороны уравнения в экспоненту:

   |2x + y| = e^(x^2 + y^2 + C)

9. Мы можем избавиться от модуля, учитывая, что выражение внутри модуля может быть положительным или отрицательным:

   2x + y = ±e^(x^2 + y^2 + C)

10. В конечном итоге, выражение 2x + y = ±e^(x^2 + y^2 + C) представляет общее решение данного дифференциального уравнения.