Question

Привет! Помогите! Даю 10 баллов. (спасаю гитару. если никто не ответит - заберут) Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей, если они перпендикулярны. Найти площадь, если d1=4см,d2=11см.

Answer 1

Ответ:

22 см²

Пошаговое объяснение:

Немного индусское решение, но все же железобетонное.

Обозначим часть каждой из диагоналей до точки пересечения за х и у. Т.к. наши диагонали равны 4 и 11, то другие 2 отрезка после точки пересечения равны (4-х) и (11-х) соответственно. Т.к. угол пересечения равне 90°, то можем составить сумму площадей 4х прямоугольных треугольников, составляющих наш четырехугольник.

(вынес 0,5 за скобку)

0,5*((х*у) + х*(4-у) + у*(11-х) + (4-у)(11-х)), и приравниваем это к половине произведения диагоналей.

0,5*((х*у) + х*(4-у) + у*(11-х) + (4-у)(11-х)) = 0,5 * 4 * 11

Дальше раскроем скобки и сократим на 0,5:

ху + 4х - ху + 11у - ху + 44 - 4х - 11у + ху = 44

Приводим подобные и получаем, что 44 = 44. ЧТД.

Ну и площадь соответственно равна 0,5 * 11 * 4 = 22 см²

p.s. гитара конечно святое.

Answer 2

Привет! Я рад помочь тебе решить эту задачу. Для доказательства формулы площади четырехугольника, у которого диагонали перпендикулярны, мы можем воспользоваться прямоугольным треугольником, который образуется между половиной одной из диагоналей и половиной другой диагонали. Давай обозначим длины диагоналей как $d_1$ и $d_2$, а площадь четырехугольника как $S$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной $d_1$ и половиной $d_2$. Этот треугольник будет иметь гипотенузу, равную $d_1/2$, и катет, равный $d_2/2$.

2. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет} \cdot \text{гипотенуза}$.

3. Вставим значения катетов и гипотенузы для нашего треугольника: $S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \frac{d_1}{2} = \frac{d_1 \cdot d_2}{8}$.

4. Так как четырехугольник состоит из двух таких треугольников (поскольку у него две диагонали), то площадь четырехугольника $S$ будет равна удвоенной площади одного треугольника: $S = 2 \cdot S_{\text{треугольника}}$.

5. Подставим значение S_{\text{треугольника} из пункта 3: $S = 2 \cdot \frac{d_1 \cdot d_2}{8} = \frac{d_1 \cdot d_2}{4}$.

Теперь у нас есть формула для площади четырехугольника, когда диагонали перпендикулярны: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{4}$. Для $d_1 = 4 см$ и $d_2 = 11 см$, площадь четырехугольника будет:

$S = \frac{4 \cdot 11}{4} = \frac{44}{4} = 11 \, см^2$.

Итак, площадь четырехугольника с заданными значениями диагоналей равна $11 \, см^2$. Надеюсь, это поможет спасти твою гитару!