Question

Найдите точки экстремума функции y=-x^3+6*x^2+15*x+1

Answer 1

Ответ:

y = x3 - 3x2 - 9x + 4;

1. Найдем производную функции:

y' = 3x2 - 6x - 9;

2. Найдем стационарные точки:

3x2 - 6x - 9 = 0;

Назделим выражение на 3.

x2 - 2x - 3 = 0;

D = (-2)2 - 4 * 1* (-3) = 4 + 12 = 16 > 0;

x1 = - (-2) + 4 / 2 = 3;

x2 = - (-2) - 4 / 2 = -1;

3. Найдем экстремумы функции:

в точке x1 = 3 - точка минимума;

в точке x1 = 3 - точка максимума.

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции $y = -x^3 + 6x^2 + 15x + 1$, мы начнем с нахождения ее производной и затем найдем значения $x$, при которых производная равна нулю. Эти $x$-координаты будут местоположением экстремумов.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = -3x^2 + 12x + 15$.

2. Теперь найдем точки, где $y'$ равна нулю: $-3x^2 + 12x + 15 = 0$.

   Это уравнение можно упростить, деля его на -3: $x^2 - 4x - 5 = 0$.

3. Решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением или факторизацией: $(x - 5)(x + 1) = 0$.

   Из этого уравнения мы видим два значения $x$, при которых производная равна нулю: $x = 5$ и $x = -1$.

4. Теперь мы найдем соответствующие значения $y$ в этих точках: Для $x = 5$: $y(5) = -5^3 + 6 \cdot 5^2 + 15 \cdot 5 + 1 = -125 + 150 + 75 + 1 = 101$.

   Для $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 15 \cdot (-1) + 1 = -1 + 6 - 15 + 1 = -9$.

Таким образом, у нас есть две точки экстремума функции $y = -x^3 + 6x^2 + 15x + 1$:

1. Минимум при $x = 5, y = 101$.
2. Максимум при $x = -1, y = -9$.