Question

Помогите решить задачу Приведенный квадратный трехчлен f(x) имеет 2 различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 — 7 различных корней?

Answer 1

Ответ: Нет.

Пошаговое объяснение:Из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.

Пусть искомый многочлен f(x) существует.

Тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).

Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.

Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).

То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней.

Answer 2

Из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.

Пусть искомый многочлен f(x) существует.

Тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).

Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.

Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).

То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней.

Answer 3

Давайте разберемся с этой задачей. Пусть f(x) - это квадратный трехчлен. Мы знаем, что у него есть два различных корня. Пусть корни будут a и b, где a ≠ b. Тогда мы можем записать квадратный трехчлен в следующем виде:

f(x) = c(x - a)(x - b), где c - это некоторая константа.

Теперь рассмотрим уравнение f(f(x)) = 0. Заменим f(x) в уравнении на выражение c(x - a)(x - b):

c(c(x - a)(x - b) - a)(c(x - a)(x - b) - b) = 0

Упростим это уравнение:

c^2(x - a)(x - b - a)(x - b)(x - a - b) = 0

Теперь мы видим, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет корни x = a и x = b (с учетом кратности). Таким образом, оно имеет два различных корня.

Теперь рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Заменим f(x) в уравнении на выражение c(x - a)(x - b):

c(c(c(x - a)(x - b) - a) - a)(c(c(x - a)(x - b) - b) - b) = 0

Упростим это уравнение:

c^3(x - a)(x - b - a)(x - b - 2a)(x - 2b)(x - 2a - b)(x - 3a)(x - 3b) = 0

Теперь мы видим, что уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет корни x = a и x = b (с учетом кратности). Однако, также есть еще 5 корней, которые являются различными от a и b.

Итак, ответ на ваш вопрос: да, уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, и уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет 7 различных корней, при условии, что f(x) - это квадратный трехчлен с двумя различными корнями.