Question

На доске написан квадратный трёхчлен P(x). Ваня заметил, что если из P(x) вычесть x2, то получится квадратный трёхчлен, имеющий ровно один действительный корень; если из P(x) вычесть x, то получится квадратный трёхчлен, имеющий ровно один действительный корень; если из P(x) вычесть 1, то получится квадратный трёхчлен, имеющий ровно один действительный корень. Найдите P(16).

Answer 1

Ответ:

31

Пошаговое объяснение:

Дан квадратный трехчлен P(x) = ax^2 + bx + c

Если из P(x) вычесть x2, то получится квадратный трёхчлен:

(a-1)x^2 + bx + c, имеющий ровно один действительный корень;

Если из P(x) вычесть x, то получится квадратный трёхчлен:

ax^2 + (b-1)x + c, имеющий ровно один действительный корень;

Если из P(x) вычесть 1, то получится квадратный трёхчлен:

ax^2 + bx + (c-1), имеющий ровно один действительный корень.

Найдите P(16).

Решение:

Скажу сразу - возможно, это неправильное решение, но ничего лучшего я не придумал.

Если квадратный трехчлен имеет только один действительный корень, то он представляет собой точный квадрат. Значит:

1) P(x) - x^2 = (a-1)x^2 + bx + c = (kx + p)^2 = k^2x^2 + 2kpx + p^2

2) P(x) - x = ax^2 + (b-1)x + c = (mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2

3) P(x) - 1 = ax^2 + bx + (c-1) = (qx + r)^2 = q^2x^2 + 2qrx + r^2

Отсюда можно составить такую систему по степеням x:

{ a - 1 = k^2

{ a = m^2

{ a = q^2

{ b = 2kp

{ b - 1 = 2mn

{ b = 2qr

{ c = p^2

{ c = n^2

{ c - 1 = r^2

Во-первых, числа a и c являются квадратами, и одновременно числа (a - 1) и (c - 1) тоже являются квадратами.

Это может быть только в одном случае: a = c = 1.

А вот с коэффициентом b ещё сложнее.

b = 2kp = 2qr - это ещё может быть, например, 12 = 2*1*6 = 2*2*3

Но как тогда b - 1 = 2mn - тоже чётное число? Такого быть не может!

Я придумал один выход:

a = 0, то есть квадратный трехчлен P(x) на самом деле - линейный.

P(x) = 0x^2 + bx + c

Тогда P(x) - x = (b - 1)x + c имеет один корень x = -c/(b - 1)

И P(x) - 1 = bx + (c - 1) тоже имеет один корень x = -(c - 1)/b

Осталось подобрать b и c так, чтобы было:

P(x) - x^2 = -x^2 + bx + c тоже имел один действительный корень.

Ответ очевиден: b = 2; c = -1.

P(x) = 0x^2 + 2x - 1

P(x) - x^2 = -x^2 + 2x - 1 = -(x - 1)^2 имеет один корень x = 1.

P(16) = 0*16^2 + 2*16 - 1 = 0 + 32 - 1 = 31

Answer 2

Пусть P(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c - коэффициенты трехчлена.

Из условия задачи мы знаем, что если из P(x) вычесть x^2, то получится квадратный трехчлен с одним действительным корнем. Это означает, что дискриминант этого трехчлена равен нулю: b^2 - 4ac = 0. (1)

Также из условия задачи мы знаем, что если из P(x) вычесть x, то получится квадратный трехчлен с одним действительным корнем. Это означает, что дискриминант этого трехчлена равен нулю: (b - 2a)^2 - 4(a - c) = 0. (2)

Из третьего условия задачи мы знаем, что если из P(x) вычесть 1, то получится квадратный трехчлен с одним действительным корнем. Это означает, что дискриминант этого трехчлена равен нулю: (b - a)^2 - 4(a - 1)c = 0. (3)

Мы получили систему трех уравнений с тремя неизвестными (a, b и c). Решим ее:

Из уравнения (1) получаем b^2 = 4ac.

Из уравнения (2) получаем (b - 2a)^2 = 4(a - c).

Из уравнения (3) получаем (b - a)^2 = 4(a - 1)c.

Раскрываем квадраты:

b^2 - 4ab + 4a^2 = 4ac.

b^2 - 4ab + 4a^2 = 4a^2 - 4ac.

b^2 - 2ab + a^2 = 4ac - 4c.

b^2 - 2ab + a^2 = 4c(a - 1).

Замечаем, что b^2 - 2ab + a^2 = (b - a)^2.

Получаем уравнение: (b - a)^2 = 4c(a - 1).

Таким образом, уравнения (2) и (3) равносильны.

Из этого следует, что b - 2a = b - a.

Отсюда получаем, что a = 0.

Подставляем a = 0 в уравнение (1):

b^2 = 0.

Отсюда следует, что b = 0.

Таким образом, трехчлен P(x) имеет вид P(x) = c.

Подставляем P(x) = c в уравнение (3):

(0 - 0)^2 = 4(c - 1)c.

Отсюда получаем, что c = 1.

Таким образом, P(x) = 1.

Найдем значение P(16):

P(16) = 1.

Ответ: P(16) = 1.