Question

Приведенный квадратный трехчлен f(x) имеет 2 различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 — 7 различных корней?

Answer 1

Да, такое возможно.

Если у квадратного трехчлена f(x) есть 2 различных корня, то его график будет иметь форму параболы, которая пересекает ось x в двух точках. Пусть эти корни обозначаются как a и b, где a ≠ b.

Тогда уравнение f(f(x)) = 0 будет иметь три различных корня, если f(a) = b и f(b) = a. Это значит, что парабола должна пересечь ось x еще раз в точке, которая лежит между a и b.

Аналогично, уравнение f(f(f(x))) = 0 будет иметь семь различных корней, если f(a) = b, f(b) = c, и f(c) = a. То есть, парабола должна пересечь ось x еще два раза, создавая еще две точки между a и b.

Таким образом, возможно, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет 7 различных корней, если коэффициенты квадратного трехчлена f(x) подобраны соответствующим образом.