Question

Диф. уравнения первого порядка с заменяющий переменой (x^3-1)*dy-3x^2*y*dx=0

Answer 1

Ответ:

$( {x}^{3} - 1)dy - 3 {x}^{2} ydx = 0 \\ ( {x}^{3} - 1)dy = 3 {x}^{2} ydx \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits\frac{3 {x}^{2} }{ {x}^{3} - 1 } dx \\ ln( |y| ) = \int\limits \frac{d( {x}^{3} - 1) }{ {x}^{3} - 1} \\ ln( |y| ) = ln( | {x}^{3} - 1 | ) + ln(C) \\ ln( |y| ) = ln(C( {x}^{3} - 1) ) \\ y = C( {x}^{3} - 1) \\ y = C {x}^{3} - C$

общее решение

Answer 2

Чтобы решить это дифференциальное уравнение первого порядка с заменой переменной, давайте воспользуемся методом замены переменных.

Для начала представим дифференциальное уравнение в форме:

(M(x, y) + N(x, y) * dy) = 0,

где M(x, y) = (x^3 - 1) и N(x, y) = -3x^2 * y.

Теперь давайте введем замену переменных:

Пусть z(x) = x^3, тогда x = z^(1/3).

Теперь давайте заменим y и dx в уравнении:

dy = dz / (3 * x^2), dx = (1/3) * z^(-2/3) * dz.

Теперь мы можем переписать уравнение в терминах новых переменных:

(M(x, y) + N(x, y) * dy) = (z^3 - 1) + (-3/3) * z^(-2/3) * y * dz = z^3 - 1 - z^(-2/3) * y * dz = 0.

Теперь у нас есть уравнение вида:

z^3 - 1 - z^(-2/3) * y * dz = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение для y, представив y как функцию z и производную z.

y = z^(5/3) - z^(-1/3) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы вернуться к исходным переменным x и y, мы просто подставляем обратную замену:

y(x) = (x^3)^(5/3) - (x^3)^(-1/3) + C y(x) = x^5 - x^(-1) + C

Итак, общее решение исходного дифференциального уравнения:

y(x) = x^5 - x^(-1) + C, где C - произвольная постоянная.