Question

Пожалуйста срочно решить уравнение sin^2(x/4)-cos^2(x/4)=sin(5p/2-x)И найти корни принадлижащие отрезку [5p/2; 4p]

Answer 1

Ответ:

10π/3

Пошаговое объяснение:

sin^2 (x/4) - cos^2 (x/4) = sin (5π/2 - x)

x € [5π/2; 4π]

По формуле косинуса двойного угла

cos 2a = cos^2 a - sin^2 a = 2cos^2 a - 1

Поэтому

sin^2 (x/4) - cos^2 (x/4) = -cos (x/2)

По формулам приведения

sin (5π/2 - x) = sin (π/2 - x) = cos x

Подставляем все это в наше уравнение:

-cos (x/2) = cos x = 2cos^2 (x/2) - 1

2cos^2 (x/2) + cos (x/2) - 1 = 0

Замена cos (x/2) = y

2y^2 + y - 1 = 0

D = 1 - 4*2(-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2

y1 = cos (x/2) = (-1 - 3)/4 = -1

x/2 = π + 2πk

x = 2π + 4πk, k € Z

В промежуток [5π/2; 4π] не попадает ни одного корня.

y2 = cos(x/2) = (-1 + 3)/4 = 1/2

x/2 = +-π/3 + 2πn

x = +-2π/3 + 4πn, n € Z

В промежуток [5π/2; 4π] попадает корень x2 = -2π/3 + 4π = 10π/3.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение.

У нас есть следующее уравнение:

sin^2(x/4) - cos^2(x/4) = sin(5π/2 - x)

Давайте сначала упростим его, используя тригонометрические идентичности. Заметим, что sin(5π/2 - x) = cos(x).

Таким образом, уравнение сводится к:

sin^2(x/4) - cos^2(x/4) = cos(x)

Теперь мы можем использовать тригонометрические идентичности для sin^2 и cos^2:

sin^2(x/4) = 1 - cos^2(x/4)

Теперь у нас есть:

1 - cos^2(x/4) - cos^2(x/4) = cos(x)

Упростим это уравнение:

1 - 2cos^2(x/4) = cos(x)

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

2cos^2(x/4) + cos(x) - 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x/4). Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения:

cos(x/4) = (-1 ± √5) / 4

Теперь, чтобы найти x, мы можем воспользоваться обратной тригонометрической функцией:

x/4 = arccos((-1 ± √5) / 4)

x = 4 * arccos((-1 ± √5) / 4)

Теперь нам нужно найти корни, которые принадлежат отрезку [5π/2, 4π]. Поскольку 5π/2 < x < 4π, нам нужно найти корни в этом интервале.

Итак, мы найдем значения x:

1. x = 4 * arccos((-1 + √5) / 4)
2. x = 4 * arccos((-1 - √5) / 4)

Теперь, подставив эти значения в уравнение, вы можете найти конкретные числовые решения для x.