Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(X)=12-x^3 на отрезке [-3; -1]​

Answer 1

Ответ:

$f(x) = 12 - {x}^{3}$

$f(x) = - 3 {x}^{2} \\ \\ f(x) = 0 \\ - 3 {x}^{2} = 0 \\ x = 0 \\ - \: \: \: \: \: \: - \\ - - - 0 - - >$

Локальных экстремумов нет.

Подставляем границы промежутка:

$y( - 3) = 12 - ( - 27) = 12 + 27 = 39 \\ y( - 1) = 12 - ( - 1) = 12 + 1 = 13$

Ответ:

13 - наименьшее значение

39 - наибольшее

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(X) = 12 - x^3 на отрезке [-3, -1], нам нужно сначала найти критические точки функции в этом интервале, а затем определить, являются ли они локальными максимумами или минимумами.

1. Найдем производную функции f(X) по X: f'(X) = -3x^2

2. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю: -3x^2 = 0

   Решение этого уравнения: x = 0

3. Мы видим, что x = 0 - единственная критическая точка в интервале [-3, -1].

4. Теперь определим, является ли эта точка локальным максимумом или минимумом. Для этого используем тест производной второго порядка. Вычислим производную второго порядка f''(X): f''(X) = -6x

5. Теперь подставим x = 0 во вторую производную: f''(0) = -6 * 0 = 0

   Значение второй производной равно нулю, что не позволяет нам однозначно определить, является ли точка x = 0 локальным максимумом или минимумом. Поэтому нам нужно рассмотреть значения функции f(X) на границах интервала [-3, -1] и в самой критической точке.

6. Вычислим f(-3): f(-3) = 12 - (-3)^3 = 12 - (-27) = 12 + 27 = 39

7. Вычислим f(-1): f(-1) = 12 - (-1)^3 = 12 - (-1) = 12 + 1 = 13

8. Таким образом, значение функции на границах интервала равно f(-3) = 39 (максимум) и f(-1) = 13 (минимум), а значение в критической точке x = 0 не позволяет нам однозначно определить, является ли она максимумом или минимумом.

Итак, наибольшее значение функции f(X) на интервале [-3, -1] равно 39 (достигается в точке x = -3), а наименьшее значение равно 13 (достигается в точке x = -1).