Question

Решите дифференциальное уравнение: Dy/x-1=dx/y-2

Answer 1

Ответ:

$\frac{dy}{x- 1} = \frac{dx}{y - 2} \\ \int\limits(y - 2)dy = \int\limits(x - 1)dx \\ \frac{ {y}^{2} }{2} - 2y = \frac{ {x}^{2} }{2} - x + C \\ {y}^{2} - 4y = {x}^{2} - 2x + C$

общее решение

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, мы можем преобразовать его и попытаться выразить y(x) явно. Давайте начнем:

Уравнение: $\frac{dy}{dx} - 1 = \frac{dx}{y - 2}$

Перегруппируем слагаемые:

$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dx}{y - 2}$

Теперь перемножим обе стороны на $(y - 2)$, чтобы избавиться от дроби:

$(y - 2) \frac{dy}{dx} = (y - 2) + dx$

Раскроем произведение слева:

$y \frac{dy}{dx} - 2 \frac{dy}{dx} = y - 2 + dx$

Теперь сгруппируем слагаемые с $\frac{dy}{dx}$ на одной стороне, а константы на другой:

$y \frac{dy}{dx} - 2 \frac{dy}{dx} = y - dx + 2$

$y \frac{dy}{dx} - 2 \frac{dy}{dx} + dx = y + 2$

$(y - 2) \frac{dy}{dx} + dx = y + 2$

Теперь мы можем выразить $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{y + 2 - dx}{y - 2}$

Теперь это стало разделяемым переменными. Разделим обе стороны на $(y + 2 - dx)$:

$\frac{1}{y - 2} dy = \frac{1}{y + 2 - dx} dx$

Интегрируем обе стороны:

$\int \frac{1}{y - 2} \, dy = \int \frac{1}{y + 2 - dx} \, dx$

$\ln|y - 2| = \ln|y + 2 - dx| + C$

где $C$ - постоянная интеграции. Теперь можем избавиться от логарифмов:

$|y - 2| = |y + 2 - dx| e^C$

Мы можем рассмотреть различные случаи в зависимости от знака выражений под модулями:

1. Если $y + 2 - dx > 0$ и $y - 2 > 0$: $y - 2 = (y + 2 - dx) e^C$

2. Если $y + 2 - dx < 0$ и $y - 2 > 0$: $-(y - 2) = (dx - y - 2) e^C$

3. Если $y + 2 - dx > 0$ и $y - 2 < 0$: $-(y + 2 - dx) = (y - 2) e^C$

4. Если $y + 2 - dx < 0$ и $y - 2 < 0$