Question

Найдите все пары натуральных x и y таких, что x^2−y^2=55. В качестве ответа введите все возможные значения x.

Answer 1

x² - y² = 55

x,y ∈ N

55 = 1*5*11

(x - y)(x + y) = 55

(x - y), (x + y) ∈ N

и пишем чему могут быть равны  (x - y), (x + y)

1. x - y = 1

x + y = 55

2. x - y = 5

x + y = 11

3. x - y = 11

x + y = 5

4. x - y = 55

x + y = 1

------ решаем

1. 2x = 56

x = 28

y = 27 да

2. 2x = 16

x = 8

y = 3 да

3. 2x = 16

x = 8

y = -3 нет, ненатуральный y

4. 2х = 56

х = 28

н = -27 нет, ненатуральный y

------

ответ 28, 8

Answer 2

Уравнение $x^2 - y^2 = 55$ можно записать в виде разности квадратов:

$(x + y)(x - y) = 55$

Теперь давайте рассмотрим все возможные пары натуральных чисел $a$ и $b$, такие что $a \cdot b = 55$. Это можно сделать, разлагая 55 на простые множители:

$55 = 5 \cdot 11$

Теперь нам нужно разбить $a$ и $b$ на две пары так, чтобы их сумма давала $x$ и разность давала $y$. Например, можно взять $a = 5$ и $b = 11$, тогда:

$x + y = 5$ $x - y = 11$

Решая эту систему уравнений, мы получаем $x = 8$ и $y = -3$. Однако, по условию, $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, поэтому эта пара не подходит.

Давайте попробуем другую пару $a$ и $b$, например, $a = 11$ и $b = 5$:

$x + y = 11$ $x - y = 5$

Решая эту систему уравнений, получаем $x = 8$ и $y = 3$. Эта пара удовлетворяет условию и состоит из натуральных чисел.

Итак, единственная пара натуральных чисел, удовлетворяющая уравнению $x^2 - y^2 = 55$, - это $x = 8$ и $y = 3$.