Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ!! найти длину дуги линии р=cos⁴(φ/4)​

Answer 1

Пусть кривая  задана в полярных координатах уравнением r = r(φ), где α ≤ φ ≤ β, и при этом значение φ = α  определяет точку A, а значение φ = β – точку B. Если на промежутке [α, β]  функция  имеет непрерывную производную , то длина кривой  выражается следующей формулой:

$L=\int\limits^a_b {(f(x))^2+(f'(x))^2} \, dx$

Производная функции cos^4(φ/4) равна: f'(φ/4) = sin(φ/4)*(-cos^3(φ/4)).

Возведя в квадрат функцию и её производную, получаем:

$L=\int\limits^{0.25}_0 {cos^6(fi/4)} \, dx =8/3.$

Answer 2

Для нахождения длины дуги линии, заданной в полярных координатах, вы можете использовать следующую формулу:

$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2} \, d\phi$

Где:

• $L$ - длина дуги
• $r$ - функция, описывающая кривую в полярных координатах (в вашем случае, $r = \cos^4\left(\frac{\phi}{4}\right)$)
• $\frac{dr}{d\phi}$ - производная $r$ по $\phi$
• $\alpha$ и $\beta$ - начальный и конечный угол в радианах, на которых вы хотите найти длину дуги.

Давайте найдем $\frac{dr}{d\phi}$ для вашего уравнения $r = \cos^4\left(\frac{\phi}{4}\right)$:

$\frac{dr}{d\phi} = \frac{d}{d\phi} \left(\cos^4\left(\frac{\phi}{4}\right)\right)$

Используя цепное правило дифференцирования, получим:

$\frac{dr}{d\phi} = -\frac{1}{4}\sin\left(\frac{\phi}{4}\right)\cos^3\left(\frac{\phi}{4}\right)$

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для вычисления длины дуги. Выберите значения $\alpha$ и $\beta$, затем подставьте их и выражения для $r$ и $\frac{dr}{d\phi}$ в формулу интеграла и решите его численно, например, с использованием программного обеспечения для математических вычислений, такого как Python с библиотекой SciPy.