Question

На окружности нарисовано несколько дуг так, что каждая дуга меньше 180◦ и любые три дуги имеют общую точку. Докажите, что все дуги имеют общую точку. Если убрать условие на величину дуги, утверждение становится ложным. Приведите пример системы дуг (произвольного размера), в которой любые три дуги имеют общую точку, а общей точки у всех дуг нет

Answer 1

Докажем, что в условиях задачи найдется точка на окружности, не принадлежащая ни одной дуге.  Из всех дуг выберем самую длинную (если таких несколько, возьмем любую из них). Чтобы рассуждение было более наглядным, повернем окружность так, чтобы эта дуга располагалась в верхней половине окружности, и мы могли говорить о ее левом конце и правом конце. Любая дуга или целиком лежит внутри выбранной, или внутри лежит один из ее концов. Выберем вторую дугу так, чтобы ее правый конец лежал внутри первой дуги, а левый лежал левее левого конца первой дуги, причем из всех таких дуг выберем ту, которая дальше всего вылезает за пределы первой дуги. Третью дугу выберем аналогично, только она должна максимально вылезать за пределы первой дуги с другой стороны. При этом по условию эти три дуги имеют общую точку (естественно, эта общая точка лежит внутри первой дуги). А тогда вторая и третья дуги не могут пересечься за пределами первой дуги, поскольку сумма их длин меньше длины всей окружности. Это доказывает наше предварительное утверждение.

Чтобы еще упростить задачу, разрежем окружность в точке, не принадлежащей ни одной дуге, и распрямим ее, сделав отрезком. Данные дуги станут также отрезками. Докажем, что все левые концы этих отрезков лежат левее всех правых концов (ну хорошо, возможно, совпадение некоторых левых концов и правых концов). Это почти очевидно - ведь иначе, если бы левый конец какого-то отрезка был правее правого конца другого отрезка, то эти отрезки не имели бы общих точек.

Дальше все просто - отрезок (возможно, сводящийся к точке), левый конец которого является самым правым из левых концов, а правый конец является самым левым из правых концов, принадлежит всем данным отрезкам.

Пример для дуг произвольного размера привести просто - скажем, достаточно взять четыре полуокружности - верхнюю, нижнюю, левую и правую. Если взять любые три из них, две обязательно будут покрывать всю окружность, пересекаясь в концевых точках, третья же будет содержать одну из этих концевых. Все же четыре полуокружности естественно не имеют общей точки.

Answer 2

Доказательство того, что все дуги на окружности имеют общую точку

Для доказательства того, что все дуги на окружности имеют общую точку, можно воспользоваться принципом Дирихле.

Предположим, что на окружности нарисовано несколько дуг, каждая из которых меньше 180°, и любые три дуги имеют общую точку. Докажем, что все дуги также имеют общую точку.

Рассмотрим две произвольные дуги на окружности. Поскольку каждая дуга меньше 180°, существует точка, которая является концом одной дуги и началом другой. Обозначим эти точки как A и B соответственно.

Теперь рассмотрим третью дугу, которая имеет общую точку с первыми двумя дугами. Поскольку точка B является концом одной дуги и началом другой, она также является концом одной из трех дуг. Обозначим эту третью дугу как C.

Таким образом, у нас есть три дуги, каждая из которых имеет общую точку с двумя другими дугами. Поскольку любые три дуги имеют общую точку, точка C также является общей для первых двух дуг. Таким образом, все три дуги имеют общую точку.

Продолжая этот процесс для всех остальных дуг, мы можем увидеть, что все дуги на окружности имеют общую точку.

Пример системы дуг без общей точки

Если мы уберем условие на величину дуги, то утверждение о том, что все дуги имеют общую точку, становится ложным.

Рассмотрим следующий пример системы дуг:

- Дуга A: 90° - Дуга B: 90° - Дуга C: 90°

В этом примере любые три дуги имеют общую точку, так как каждая дуга имеет общую точку с двумя другими дугами. Однако, общей точки у всех дуг нет, так как они находятся на разных половинах окружности.

Таким образом, этот пример демонстрирует систему дуг произвольного размера, в которой любые три дуги имеют общую точку, но общей точки у всех дуг нет.