Question

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=13t^3−3t^2−5t+3 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Answer 1

               $x(t)=\frac{1}{3} t^3-3t^2-5t+3$

1)   Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени.

$V(t)=x'(t)$

$V(t)=(\frac{1}{3} t^3-3t^2-5t+3)'$

$V(t)=\frac{1}{3} *3t^2-3*2t-5$

$V(t)=t^2-6t-5$

2)   Найти $t$ при   $V=2$ м/с.

       $t^2-6t-5 =2$

       $t^2-6t-7=0$

$D=36-4*1*(-7)=36+28=64=8^2$

      $t_1=\frac{6-8}{2}=-1$  отрицательное значение не удовлетворяет условию.

      $t_2=\frac{6+8}{2}=7$ с

Ответ: 7 с

   

Answer 2

Чтобы найти момент времени, когда скорость материальной точки была равна 2 м/с, нужно найти производную функции $x(t)$ по времени и приравнять ее к 2 м/с. Данная функция описывает положение точки в зависимости от времени:

$x(t) = 13t^3 - 3t^2 - 5t + 3$

Производная функции $x(t)$ по времени $t$ даёт скорость точки в момент времени $t$. Выразим производную и приравняем ее к 2:

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = 39t^2 - 6t - 5$

Теперь приравняем $v(t)$ к 2 м/с и решим уравнение:

$39t^2 - 6t - 5 = 2$

$39t^2 - 6t - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-6)^2 - 4(39)(-7) = 276$

$t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{276}}{2(39)}$

$t \approx \frac{6 \pm \sqrt{276}}{78}$

$t \approx \frac{6 \pm 2\sqrt{69}}{78}$

Таким образом, моменты времени, когда скорость материальной точки была равна 2 м/с, приближенно равны:

$t \approx \frac{6 + 2\sqrt{69}}{78} \approx 0.322 \text{ сек} \quad \text{и} \quad t \approx \frac{6 - 2\sqrt{69}}{78} \approx -0.262 \text{ сек}$

Отрицательное значение времени в данном контексте не имеет физического смысла, поэтому ответ: скорость материальной точки была равна 2 м/с при $t \approx 0.322$ секунды.