Question

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= -1/5^t2 + 6t - 27, где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с? У меня получается -5, но время не может быть с минусом... в чем дело? :С

Answer 1

V(t) = x'(t) = - 2/5t + 6 = 4
- 2/5t = - 2
t = 5

Answer 2

Давайте разберемся вместе. У вас есть функция расстояния от точки отсчета до материальной точки в зависимости от времени: \( x(t) = -\frac{1}{5t^2} + 6t - 27 \).

Чтобы найти момент времени, когда скорость была равна 4 м/с, вам нужно найти производную функции \( x(t) \) по времени \( t \), которая представляет собой скорость. Затем вы приравниваете эту производную к 4 и решаете уравнение.

Давайте найдем производную \( x'(t) \): \[ x'(t) = \frac{d}{dt} \left(-\frac{1}{5t^2} + 6t - 27\right) \]

Чтобы упростить это выражение, найдем производные каждого слагаемого по отдельности:

1. Производная по \( t \) от \(-\frac{1}{5t^2}\): \[ \frac{d}{dt} \left(-\frac{1}{5t^2}\right) = \frac{2}{5t^3} \]

2. Производная по \( t \) от \(6t\): \[ \frac{d}{dt} (6t) = 6 \]

3. Производная по \( t \) от \(-27\): \[ \frac{d}{dt} (-27) = 0 \]

Теперь сложим все эти производные: \[ x'(t) = \frac{2}{5t^3} + 6 \]

Теперь у нас есть уравнение для скорости \( x'(t) \). Теперь приравняем его к 4 и решим уравнение:

\[ \frac{2}{5t^3} + 6 = 4 \]

Вычитаем 6 с обеих сторон: \[ \frac{2}{5t^3} = -2 \]

Умножаем обе стороны на 5t^3: \[ 2 = -10t^3 \]

Делим обе стороны на -10: \[ t^3 = -\frac{1}{5} \]

Теперь извлекаем кубический корень: \[ t = -\frac{1}{\sqrt[3]{5}} \]

Таким образом, вы правильно нашли, что \( t \) равно отрицательному кубическому корню из \(-\frac{1}{5}\). Это значение отрицательное, потому что мы вычитали 6t с обеих сторон уравнения для производной. Однако, в данном контексте, вам необходимо взять положительное значение \( t \), так как время не может быть отрицательным.

Так что, для того чтобы найти момент времени, когда скорость была равна 4 м/с, вам нужно взять положительный корень из \(-\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\).