Question

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка методом понижения порядка. y′′ + y′ = 0; yy′′-(y′)^2 = 0.

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка методом понижения порядка, давайте рассмотрим уравнение y'' + y' = 0 и введем новую переменную z = y'. Теперь мы можем свести уравнение второго порядка к двум уравнениям первого порядка:

1. Уравнение для z: z' + z = 0

2. Уравнение для y: y' = z

Решим первое уравнение (z' + z = 0):

Заметим, что это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, и его решение имеет вид: z(t) = C * e^(-t), где C - произвольная постоянная.

Теперь мы можем найти y(t), интегрируя уравнение y' = z:

y(t) = ∫z(t) dt + D, где D - еще одна произвольная постоянная.

Интегрируя z(t) = C * e^(-t) и добавляя постоянную D, получим: y(t) = -C * e^(-t) + D

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения второго порядка y'' + y' = 0 имеет вид: y(t) = -C * e^(-t) + D

где C и D - произвольные постоянные.