Question

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: xtgydx-(x^2-2)dy=0

Answer 1

Ответ:

$xtgydx - ( {x}^{2} - 2)dy = 0 \\ ( {x}^{2} - 2)dy = xtgydx \\ \int\limits \frac{dy}{tgy} = \int\limits \frac{xdx}{ {x}^{2} - 2 } \\ \int\limits \frac{ \cos(y) }{ \sin(y) } dy = \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{ {x}^{2} - 2 } \\ \int\limits \frac{d (\sin(y)) } {\sin(y) } = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} - 2)}{ {x}^{2} - 2 } \\ ln( | \sin(y) | ) = \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} - 2| ) + ln(C) \\ ln( | \sin(y) | ) = ln( |C \sqrt{ {x}^{2} - 2} | ) \\ \sin(y) = C \sqrt{ {x}^{2} - 2 }$

общее решение

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

xtgy dx - (x^2 - 2) dy = 0

Давайте попробуем его решить. Сначала выразим dy/dx:

xtgy dx = (x^2 - 2) dy

dy/dx = (xtgy dx) / (x^2 - 2)

Теперь разделим обе стороны на xtgy:

dy/dx = (x^2 - 2) / (xtgy)

Теперь мы видим, что это уравнение можно представить в виде раздельных переменных, разделив x и y:

dy / (x^2 - 2) = dx / (xtgy)

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1 / (x^2 - 2)) dy = ∫(1 / (xtgy)) dx

Для левой стороны, мы можем воспользоваться частным случаем интеграла арктангенса:

∫(1 / (x^2 - 2)) dy = (1 / √2) ∫(1 / (x^2/2 - 1)) dy = (1 / √2) arctan(√2x)

Для правой стороны, интегрируем:

∫(1 / (xtgy)) dx = ∫(1 / (x * x * t * g * y)) dx = (1 / (t * g)) ∫(1 / (x * y)) dx

Теперь у нас есть общее решение:

(1 / √2) arctan(√2x) = (1 / (t * g)) ∫(1 / (x * y)) dx

Интегрируя правую сторону, мы получим:

(1 / √2) arctan(√2x) = (1 / (t * g)) ln|x| + C

Где C - произвольная постоянная интеграции. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

(1 / √2) arctan(√2x) = (1 / (t * g)) ln|x| + C