Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА!Решить дифференциальное уравнение y-xy’=1+x^2y’

Answer 1

Ответ:              y  =  Cx/(x + 1) + 1 .

Пошаговое объяснение:

y-xy’=1+x²y’ ; перетворимо це диф. рівняння так :

( x² + x)y' = y - 1 ;  

( x² + x)dy/dx = y - 1 ;

dy/( y - 1) = dx/( x² + x) ;

dy/( y - 1) = ( 1/x  - 1/ ( x + 1 )) dx ; інтегруємо обидві частини рівності :

 ∫dy/( y - 1) = ∫( 1/x  - 1/ ( x + 1 )) dx ;

ln│y - 1│= ln│x│ -   ln│x + 1│+  ln│C│;

ln│y - 1│= ln│Cx/(x + 1)│;    y - 1 = Cx/(x + 1);

 y  =  Cx/(x + 1) + 1 ; - загальний розв"язок диф. рівняння .

Answer 2

Конечно, давайте решим данное дифференциальное уравнение.

У вас есть дифференциальное уравнение первого порядка:

y - x * y' = 1 + x^2 * y'

Перенесем все члены с y' на одну сторону уравнения и член с y на другую:

y - 1 = x * y' - x^2 * y'

Теперь разделим обе стороны на (1 - x^2), чтобы избавиться от y' в выражении:

(y - 1) / (1 - x^2) = y'

Теперь у нас есть уравнение для y' в зависимости от y и x. Это уравнение можно решить с помощью метода разделения переменных. Давайте это сделаем:

dy / dx = (y - 1) / (1 - x^2)

Теперь перенесем dx на одну сторону и y и (1 - x^2) на другую:

dy / (y - 1) = dx / (1 - x^2)

Теперь проинтегрируем обе стороны. Интеграл левой стороны будет зависеть от y, а интеграл правой стороны будет зависеть от x:

∫(1 / (y - 1)) dy = ∫(1 / (1 - x^2)) dx

Левая сторона:

ln|y - 1| = -1/2 * ln|1 - x^2| + C₁

Правая сторона:

ln|y - 1| = -1/2 * ln|1 - x| + 1/2 * ln|1 + x| + C₂

Где C₁ и C₂ - это произвольные постоянные.

Теперь объединим логарифмы на обеих сторонах:

ln|y - 1| = -1/2 * (ln|1 + x| - ln|1 - x|) + C

Используя свойства логарифмов, мы можем записать это уравнение в следующей форме:

ln|y - 1| = ln|√(1 + x) / √(1 - x)| + C

Теперь уберем логарифмы, взяв экспоненту от обеих сторон:

|y - 1| = |√(1 + x) / √(1 - x)| * e^C

Теперь учтем, что e^C - это произвольная положительная постоянная, которую мы можем обозначить как C'. Тогда наше уравнение можно записать как:

|y - 1| = C' * |√(1 + x) / √(1 - x)|

Теперь рассмотрим два случая: C' > 0 и C' < 0.

Случай 1 (C' > 0):

y - 1 = C' * √(1 + x) / √(1 - x)

Случай 2 (C' < 0):

y - 1 = -C' * √(1 + x) / √(1 - x)

Это является общим решением вашего дифференциального уравнения.