Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y=4x-x2 y=0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої лініями y = 4x - x^2 та y = 0, спочатку потрібно знайти точки їх перетину. Ці точки будуть точками, які обмежують фігуру знизу. Тобто, ми шукаємо значення x, для яких y = 4x - x^2 дорівнює 0.

Спершу, вирішимо рівняння: 4x - x^2 = 0

Тепер факторизуємо це рівняння: x(4 - x) = 0

Отже, ми маємо два значення x:

1. x = 0
2. x = 4

Ці значення x вказують на те, де лінія y = 4x - x^2 перетинає вісь X.

Тепер ми можемо знайти відповідні значення y, підставивши ці значення x у рівняння y = 4x - x^2:

1. При x = 0, y = 4 * 0 - 0^2 = 0
2. При x = 4, y = 4 * 4 - 4^2 = 16 - 16 = 0

Отже, точки перетину лінії y = 4x - x^2 та y = 0 - це точки (0, 0) і (4, 0).

Тепер, щоб знайти площу фігури, обмеженої цими лініями, ми можемо використовувати інтеграл від x = 0 до x = 4 для функції y = 4x - x^2. Формула для обчислення площі під графіком функції від a до b виглядає наступним чином:

Площа = ∫[a, b] y dx

У нашому випадку: a = 0 b = 4 y = 4x - x^2

Площа = ∫[0, 4] (4x - x^2) dx

Тепер обчислимо цей інтеграл:

Площа = [4x^2/2 - (x^3/3)] от 0 до 4 Площа = [2x^2 - (x^3/3)] от 0 до 4

Тепер підставимо верхню інтервальну межу (4) та нижню інтервальну межу (0) і віднімемо результати:

Площа = [2(4)^2 - ((4)^3/3)] - [2(0)^2 - ((0)^3/3)] Площа = [32 - (64/3)] - [0 - 0] Площа = [96/3 - 64/3] Площа = (96 - 64)/3 Площа = 32/3

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = 4x - x^2 та y = 0, дорівнює 32/3 або приблизно 10.67 квадратних одиниць.