Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 и y=8-x^2.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

как-то так, надеюсь там будет хорошо видно

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2$ и $y = 8 - x^2$, необходимо найти точки пересечения этих двух графиков. После этого мы сможем найти интеграл функции, представляющей разность между этими двуми функциями, в пределах точек пересечения, чтобы получить площадь фигуры.

1. Найдем точки пересечения $y = x^2$ и $y = 8 - x^2$: Решим уравнение $x^2 = 8 - x^2$: $2x^2 = 8$ $x^2 = 4$ $x = \pm 2$

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

2. Теперь мы можем найти площадь между функциями $y = x^2$ и $y = 8 - x^2$ на отрезке $[-2, 2]$ с помощью интеграла:

   $$\text{Площадь} = \int_{-2}^{2} (8 - x^2) - x^2 \, dx$$

   Раскроем скобки и упростим выражение:

   $$\text{Площадь} = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) \, dx$$

   Интегрируем по $x$:

   $$\text{Площадь} = \left[ 8x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{-2}^{2}$$

   Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

   $$\text{Площадь} = \left[ 8(2) - \frac{2}{3}(2)^3 \right] - \left[ 8(-2) - \frac{2}{3}(-2)^3 \right]$$
   $$\text{Площадь} = \left[ 16 - \frac{16}{3} \right] - \left[ -16 + \frac{16}{3} \right]$$
   $$\text{Площадь} = \frac{80}{3} \approx 26.67 \text{ кв. ед.}$$

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2$ и $y = 8 - x^2$ на отрезке $[-2, 2]$, составляет приблизительно $\frac{80}{3}$ квадратных единиц.