Question

2. Знайти інтеграл: arctgx dx​

Answer 1

$\int\mathrm{arctg}\,x\,dx$

Интеграл находим по частям, используя формулу:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

Получаем:

$\int\mathrm{arctg}\,x\,dx=\left=x\mathrm{arctg}\,x-\int\dfrac{xdx}{1+x^2} =$

$=x\mathrm{arctg}\,x-\dfrac{1}{2} \int\dfrac{2xdx}{1+x^2} =x\mathrm{arctg}\,x-\dfrac{1}{2} \int\dfrac{d(1+x^2)}{1+x^2} =$

$=x\mathrm{arctg}\,x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$

Answer 2

Щоб знайти інтеграл від arctan(x), використовуємо наступний інтеграл:

∫arctan(x) dx = x * arctan(x) - ∫x / (1 + x^2) dx

Перший член x * arctan(x) залишається незмінним. Другий член потребує інтегрування. Для інтегрування x / (1 + x^2) dx, можна використовувати підстановку.

Проведемо підстановку:

Поставимо u = 1 + x^2, тоді du = 2x dx Отже, dx = du / (2x)

Тепер ми можемо підставити це в наш інтеграл:

∫x / (1 + x^2) dx = ∫(1/2) * (1/u) du

Цей інтеграл дуже простий і має вигляд:

(1/2) * ∫(1/u) du = (1/2) * ln|u| + C

Тепер, підставляючи u назад, ми отримуємо:

(1/2) * ln|1 + x^2| + C

Отже, остаточний результат:

∫arctan(x) dx = x * arctan(x) - (1/2) * ln|1 + x^2| + C, де C - це стала інтегрування.