Question

Пожалуйста помогите!!! стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. вычислить площадь треугольника, если его гипотенуза равна 5.​

Answer 1

Доказательство:

Не уверен, но:

Гипотенозу возьмем возьмем как за n, т.е. n = 5

Так как это прямоугольный треугольник, то два катета должно быть меньше чем его катет.

В целом должно выйти так, что один катет равен n-2, а второй n-1. Тут сохраняется стороны золотогго треугольника, т.е. 3 4 5 стороны. Тогда d = 1, и появляется ариф прогрессия где a1 = 3, a2 = 4, a3 = 5.

Решение :

S = 3*4/2 = 6 (по удлененному прямоугольнику)

Answer 2

Если стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, то пусть эти стороны равны $a - d$, $a$, и $a + d$, где $a$ - средний член прогрессии, а $d$ - разность между членами прогрессии.

Мы знаем, что гипотенуза равна 5. Согласно теореме Пифагора:

$(a - d)^2 + a^2 = (a + d)^2$

Раскрываем скобки:

$a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2$

Теперь упрощаем уравнение:

$4ad = 2a^2$

Поскольку гипотенуза равна 5:

$a^2 + (a - d)^2 = 25$

Подставляем $4ad = 2a^2$ в это уравнение:

$a^2 + (a - d)^2 = 25$ $a^2 + (a - (2a^2/4a))^2 = 25$ $a^2 + (a - a/2)^2 = 25$ $a^2 + (a/2)^2 = 25$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$a^2 + a^2/4 = 25$ $5a^2/4 = 25$

Теперь найдем $a$:

$5a^2 = 100$ $a^2 = 20$ $a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Теперь можем найти длины сторон треугольника:

Самая короткая сторона: $a - d = 2\sqrt{5} - d$ Средняя сторона: $a = 2\sqrt{5}$ Самая длинная сторона: $a + d = 2\sqrt{5} + d$

Теперь можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника:

$Площадь = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$

Где основание и высота могут быть любыми двумя сторонами треугольника. Давайте возьмем $a - d$ и $a$ в качестве основания и высоты:

$Площадь = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{5} - d) \times 2\sqrt{5}$

Подставляем $4ad = 2a^2$:

$Площадь = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{5} - \frac{2a^2}{2\sqrt{5}}) \times 2\sqrt{5}$ $Площадь = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{5} - \sqrt{20}) \times 2\sqrt{5}$