Question

На плане автострада совпадает с осью Ox, а два города обозначены точками A(-1; 4) и B(3; 1). В каком месте автострады нужно построить автовокзал, чтобы он был удалён от каждого города на одинаковое расстояние? !!! Использование аналитической геометрии на плоскости при решении прикладных задач.!!!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

на оси ОХ точки имеют координаты (х0; 0) - возьмем точку С(х0; 0) как автовокзал

расстояние от A до автовокзала С

$\displaystyle d = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}= \sqrt{(x0+1)^2+(0-4)^2}$

расстояние от В до автовокзала С

$\displaystyle d = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} =\sqrt{(x0-3)^2+(0-1)^2}$

тогда

(х0+1)² +16 = (x0-3)² +1

x0²  +2*x0 +1 +16 = x0² -6*x0 +9 +1

8*x0 = -17 +10 = -7

x0 = -7/8

координаты автостанции С(-7/8; 0)

Answer 2

Для нахождения места на автостраде, где следует построить автовокзал, чтобы он был удален на одинаковое расстояние от города A(-1; 4) и города B(3; 1), мы можем воспользоваться аналитической геометрией.

Шаг 1: Найдем середину отрезка AB.

Середина отрезка AB будет находиться посередине между координатами A и B. Мы можем использовать средние значения координат x и y:

Середина AB: x_mid = (x_A + x_B) / 2 y_mid = (y_A + y_B) / 2

x_mid = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1 y_mid = (4 + 1) / 2 = 5 / 2 = 2.5

Середина AB находится в точке (1, 2.5).

Теперь у нас есть точка, которая находится на равном расстоянии от A и B.

Шаг 2: Найдем уравнение прямой, проходящей через середину AB и перпендикулярной отрезку AB.

Сначала найдем угловой коэффициент (направляющий вектор) отрезка AB:

m_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) m_AB = (1 - 4) / (3 - (-1)) m_AB = (-3) / 4

Теперь, так как мы ищем прямую, перпендикулярную отрезку AB, мы можем найти угловой коэффициент для этой прямой, который будет равен обратному обратному значению и знаку противоположному к угловому коэффициенту отрезка AB:

m_perpendicular = -1 / m_AB m_perpendicular = -1 / (-3/4) m_perpendicular = 4/3

Теперь, у нас есть угловой коэффициент (направляющий вектор) для прямой, проходящей через середину AB и перпендикулярной AB.

Шаг 3: Найдем уравнение прямой, проходящей через середину AB.

Используя уравнение прямой в форме y = mx + b и известную точку (1, 2.5), мы можем найти b:

2.5 = (4/3) * 1 + b 2.5 = 4/3 + b

Теперь выразим b:

b = 2.5 - 4/3 b = (15/6) - (8/6) b = 7/6

Итак, у нас есть уравнение прямой, проходящей через середину AB:

y = (4/3)x + 7/6

Шаг 4: Найдем точку пересечения этой прямой с автострадой (ось Ox).

Поскольку автострада совпадает с осью Ox, у нас есть уравнение для автострады: y = 0.

Теперь приравняем это уравнение к уравнению прямой, чтобы найти точку пересечения:

(4/3)x + 7/6 = 0

(4/3)x = -7/6

x = (-7/6) * (3/4)

x = -7/8

Таким образом, автовокзал должен быть построен на автостраде в точке с координатами x = -7/8. Убедитесь, что это расстояние до точки A(-1; 4) и точки B(3; 1) одинаково.

Расстояние от A до (-7/8) равно:

d_A = |-7/8 - (-1)| = |-7/8 + 8/8| = |-15/8| = 15/8

Расстояние от B до (-7/8) равно:

d_B = |-7/8 - 3| = |-7/8 - 24/8| = |-31/8| = 31/8

Оба расстояния равны 15/8, поэтому точка (-7/8, 0) находится на равном расстоянии от обоих городов A и B.