Question

1. Дать определение дерева. Показать, что следующее определение эквивалентно определению дерева «граф G ацикличен, но соединяя любую пару вершин новым ребром, получаем цикл». 2. Нарисуйте полный граф K6. Существует ли в нём цикл длины 7? (Ответ аргументировать) 3. Используя алгоритм поиска минимального основного дерева, найдите сеть дорог минимальной общей длины, связывающую все шесть городов (см. следующую страницу). 4. Можно ли раскрасить ребра куба в красный и чёрный цвет так, чтобы муравей мог пройти из любой вершины в любую, гуляя только по красным рёбрам, а жук — только по чёрным?

Answer 1

Пошаговое объяснение:

G — дерево.

Любые две вершины графа G соединены единственным простым путем.

G — связен и p=q+1, где p — количество вершин, а q количество ребер.

G — ацикличен и p=q+1, где p — количество вершин, а q количество ребер.

G — ацикличен и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл.

G — связный граф, отличный от Kp для p>3, а также при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл.

G — граф, отличный от K3∪K1 и K3∪K2, а также p=q+1, где p — количество вершин, а q количество ребер, и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл

Answer 2

1. Определение дерева: Дерево - это связный граф, у которого нет циклов. Иными словами, дерево - это граф без замкнутых цепей (путей).

   Эквивалентное определение: Граф G является деревом тогда и только тогда, когда он ацикличен (не содержит циклов), и при добавлении ребра между любой парой вершин этот граф становится цикличным (содержит хотя бы один цикл).

2. Полный граф K6 содержит 6 вершин и каждая вершина соединена с каждой другой вершиной. Цикл длины 7 в этом графе не существует, так как для создания цикла длины 7 в полном графе необходимо было бы посетить каждую из 6 вершин более одного раза, что невозможно. Таким образом, в K6 нет цикла длины 7.

3. Для поиска минимального остовного дерева, связывающего все шесть городов, можно использовать алгоритмы, такие как алгоритм Прима или алгоритм Краскала. Эти алгоритмы помогут найти такое дерево, которое соединяет все города с минимальной общей длиной дорог. Однако, так как у меня нет данных о конкретных расстояниях между городами, я не могу выполнить это вычисление.

4. Нет, нельзя раскрасить рёбра куба так, чтобы муравей мог пройти из любой вершины в любую, гуляя только по красным рёбрам, а жук — только по чёрным. Это связано с тем, что куб является двудольным графом, и любой путь между вершинами одной доли (например, муравья) и вершинами другой доли (например, жука) должен пересекать рёбра обеих цветов.