Question

Доказать, что для любого натурального верно равенство: 1 · (n − 1) + 2 · ( n− 2) + 3 · ( n− 3) + · · · + ( n− 1) · 1 =(n − 1) · n · ( n+ 1)/6

Answer 1

Нам потребуются формулы, которые будем считать известными:

$\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow\sum\limits_{k=1}^{n-1}k=\frac{(n-1)n}{2};$

$\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.$

Имеем:

$\sum\limits_{k=1}^{n-1}k(n-k)=n\sum\limits_{k=1}^{n-1}k-\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2= \frac{(n-1)n^2}{2}-\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=$

$=\frac{(n-1)n(3n-(2n-1))}{6}=\frac{(n-1)n(n+1)}{6},$ что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте докажем это равенство методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции

Для n = 1:

Левая сторона: 1 · (1 - 1) = 1 · 0 = 0

Правая сторона: (1 - 1) · 1 · (1 + 1) / 6 = 0 · 1 · 2 / 6 = 0

Левая сторона равна правой стороне для n = 1. База индукции верна.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е.,

1 · (k - 1) + 2 · (k - 2) + 3 · (k - 3) + ... + (k - 1) · 1 = (k - 1) · k · (k + 1) / 6

Шаг 3: Индукционный переход

Докажем, что утверждение верно для k + 1. Рассмотрим выражение для n = k + 1:

1 · (k + 1 - 1) + 2 · (k + 1 - 2) + 3 · (k + 1 - 3) + ... + (k + 1 - 1) · 1

Разделим это выражение на часть, которая совпадает с утверждением индукции для k:

1 · (k + 1 - 1) + 2 · (k + 1 - 2) + 3 · (k + 1 - 3) + ... + (k - 1) · 1 + (k + 1 - 1) · 1

Теперь используем предположение индукции:

(k - 1) · k · (k + 1) / 6 + (k + 1 - 1) · 1

Упростим это выражение:

(k - 1) · k · (k + 1) / 6 + k

Теперь выразим k + 1 в виде (k + 1):

((k - 1) · k · (k + 1) + 6k) / 6

Теперь мы можем провести факторизацию:

(k · (k - 1) · (k + 1) + 6k) / 6

(k(k - 1)(k + 1) + 6k) / 6

(k(k - 1)(k + 1) + 6k) / 6 = (k + 1)(k(k - 1) + 6) / 6

(k + 1)(k(k - 1) + 6) / 6 = (k + 1)((k^2 - k) + 6) / 6

(k + 1)((k^2 - k + 6) / 6)

Теперь, у нас есть выражение, которое совпадает с формулой для n = k + 1, что доказывает индукционный переход.

Итак, по базе индукции и индукционному переходу, мы доказали, что утверждение верно для любого натурального числа n.

Таким образом, доказано, что:

1 · (n - 1) + 2 · (n - 2) + 3 · (n - 3) + ... + (n - 1) · 1 = (n - 1) · n · (n + 1) / 6.