Question

Решите уравнение . В ответ запишите количество различных корней уравнения на промежутке 0°≤х≤180° (Вписать правильный ответ) sin⁴ x+cos⁴х = sin⁴2x+cos⁴2x

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$sin^4x+cos^4x=sin^42x+cos^42x\\(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=(sin^22x+cos^22x)^2-2sin^22xcos^22x\\sin^2xcos^2x=sin^22xcos^22x\\sin^2xcos^2x-4sin^2xcos^2xcos^22x=0\\sin^2xcos^2x(1-4cos^22x)=0,\;\;sinxcosx(1+2cos4x)=0$

Получили, что задача свелась к решению уравнения:

$sinxcosx(1+2cos4x)=0$

$\left[\begin{array}{c}x=n\pi,\;n\in Z\\\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in Z\\\\x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{l\pi}{2},\;l\in Z\\\\x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{m\pi}{2},\;m\in Z\end{array}\right;$

Объединим найденные решения:

$x=\dfrac{t\pi}{6},\;t\in Z$

Ответим теперь на вопрос задачи: 7.

Задание выполнено!

Answer 2

Для решения уравнения sin⁴(x) + cos⁴(x) = sin⁴(2x) + cos⁴(2x) на промежутке 0° ≤ x ≤ 180°, давайте разберемся с уравнением шаг за шагом.

Первый шаг: sin⁴(x) + cos⁴(x) = sin⁴(2x) + cos⁴(2x)

Следующий шаг: (sin²(x))² + (cos²(x))² = (sin²(2x))² + (cos²(2x))²

Теперь используем тождество для двойного угла sin(2θ) и cos(2θ):

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)

Для x и 2x:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Применим эти тождества:

(sin²(x))² + (cos²(x))² = [(2sin(x)cos(x))²] + [(cos²(x) - sin²(x))²]

Теперь упростим уравнение:

(sin²(x))² + (cos²(x))² = (4sin²(x)cos²(x)) + (cos⁴(x) - 2sin²(x)cos²(x) + sin⁴(x))

Подставим cos²(x) = 1 - sin²(x):

(sin⁴(x)) + (1 - sin²(x))² = (4sin²(x)(1 - sin²(x))) + (1 - sin²(x) - 2sin²(x)(1 - sin²(x)) + sin⁴(x))

Упростим:

sin⁴(x) + (1 - 2sin²(x) + sin⁴(x)) = (4sin²(x) - 4sin⁴(x)) + (1 - 3sin²(x) + 2sin⁴(x))

Теперь у нас есть уравнение:

2sin⁴(x) - 3sin²(x) + 1 = 0

Давайте решим это квадратное уравнение относительно sin²(x):

2(sin²(x))² - 3(sin²(x)) + 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное уравнение относительно sin²(x). Используем дискриминант:

D = b² - 4ac

где a = 2, b = -3 и c = 1.

D = (-3)² - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1

D > 0, следовательно, у нас есть два корня для sin²(x).

Итак, на промежутке 0° ≤ x ≤ 180° уравнение имеет два различных корня.