Question

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Оказалось, что произведение чисел увеличилось на 72. Найдите какую-нибудь такую тройку чисел. Даю 17 баллов

Answer 1

Если числа больше трех то никак не получится

значит как минимум 2 числа меньше 3 , тогда получим два отрицательных числа, которые дают в произведении больше, чем первоначальные до вычитания 3

пусть два числа = 1

тогда

1 * 1 * x  начальная

(1 - 3)(1 - 3)(х - 3) = 4(х - 3) после уменьшения

х + 72 = 4(х - 3)

х + 72 = 4х - 12

3х = 84

х = 28

тройка 1, 1, 28

Числа 2 и 2 нет 2*2 > (2 -3)(2-3) = -1 * -1

1 и 2 нет 1*2 = (1 - 3)(2 - 3) = -2 * -1

Нам надо чтобы 1 * 1 < (1 - 3)(1 - 3) = -2 * -2 = 4

Answer 2

Давайте обозначим исходные тройки чисел как $a$, $b$ и $c$. Затем мы можем записать систему уравнений на основе данной информации:

$$\begin{align*} (a - 3)(b - 3)(c - 3) &= abc + 72 \\ abc - 3(ab + ac + bc) + 9(a + b + c) - 27 &= abc + 72 \end{align*}$$

Теперь мы можем упростить это уравнение:

$$3(ab + ac + bc) - 9(a + b + c) = 99$$

Теперь мы видим, что это уравнение можно упростить дальше, разделив обе стороны на 3:

$$ab + ac + bc - 3(a + b + c) = 33$$

Мы видим, что левая сторона уравнения может быть представлена в виде суммы трех двойных произведений:

$$ab + ac + bc - 3(a + b + c) = (a - 3)(b - 3) + (a - 3)(c - 3) + (b - 3)(c - 3) - 9$$

Теперь у нас есть выражение для левой стороны уравнения в терминах $(a - 3)$, $(b - 3)$ и $(c - 3)$:

$$(a - 3)(b - 3) + (a - 3)(c - 3) + (b - 3)(c - 3) - 9 = 33$$

Теперь мы можем попробовать различные натуральные числа для $(a - 3)$, $(b - 3)$ и $(c - 3)$, чтобы найти такую тройку чисел, которая удовлетворяет уравнению. Например, попробуем:

$$\begin{align*} (a - 3) &= 6 \\ (b - 3) &= 3 \\ (c - 3) &= 4 \end{align*}$$

Теперь найдем значения $a$, $b$ и $c$:

$$\begin{align*} a &= 6 + 3 = 9 \\ b &= 3 + 3 = 6 \\ c &= 4 + 3 = 7 \end{align*}$$

Таким образом, тройка чисел (9, 6, 7) удовлетворяет данному условию.