Question

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы её углов A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке N. Найдите длину отрезка MN, если AB=5, BC=7, CD=8, AD=12.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Покажем сначала, что биссектрисы AM и BM пересекаются под прямым углом. Действительно, пусть ∠ABC=α и ∠BAD=β. Тогда α+β=180°. Так как биссектриса делит угол пополам, то верно, что ∠ABM+∠BAM=α/2+β/2=90°, поэтому и ∠BMA=90°.

Опустим из точки M перпендикуляр на сторону BC. Получим ME⊥BC. Тогда ΔBMA~ΔBEM по двум углам. Из подобия треугольников следует, что AB/BM=AM/ME.

Опустим из точки M перпендикуляр на сторону AD. Получим, MT⊥AD. Тогда ΔBMA~ΔATM по двум углам. Из подобия треугольников следует, что AB/AM=BM/MT, то есть AB/BM=AM/MT.

Так как AB/BM=AM/ME и AB/BM=AM/MT, то верно, что AM/ME=AM/MT или ME=MT.

Так как расстояния от точки M до прямых BC и AD одинаковы, то точка M лежит на средней линии трапеции.

Применив аналогичное рассуждение, получаем, что точка N тоже лежит на средней линии трапеции.

Тогда MN - это часть средней линии трапеции, то есть MN||BC и MN||AD.

Проведем среднюю линию трапеции FG. По определению FG=(7+12)/2=19/2.

Так как треугольники ΔBMA и ΔCND прямоугольные, а F и G - середины их гипотенуз AB и CD, то FM и GN - это медианы, равные AB/2 и CD/2 соответственно, то есть FM=5/2 и GN=4.

Понятно, что MN=FG-FM-GN, а значит MN=19/2-5/2-4=3.

Задача решена!

Answer 2

Для нахождения длины отрезка MN вам понадобится использовать свойства биссектрис в треугольниках и теорему о подобии.

Сначала найдем углы биссектрис в треугольниках ABCD.

1. В треугольнике ABC: Угол BAC = 180° - угол BCA - угол ABC = 180° - 8° - 7° = 165° Значит, биссектриса угла A разделит угол BAC пополам, и ее мера составит 82.5°.

2. В треугольнике BCD: Угол CDB = 180° - угол BDC - угол BCD = 180° - 8° - 7° = 165° Значит, биссектриса угла C разделит угол CDB пополам, и ее мера также составит 82.5°.

Теперь рассмотрим треугольник AMN и треугольник BNM.

3. Треугольник AMN и треугольник BNM подобны, так как у них соответственные углы при вершине M равны (см. углы AMN и BNM), и у них равны углы при вершине N (см. углы ANM и BNM).

Теперь, чтобы найти отношение длин сторон этих треугольников, мы можем использовать теорему о подобии треугольников и соответствующие углы.

4. Отношение длин сторон AM к AB равно отношению длин сторон NM к BN: AM/AB = NM/BN

5. Известно, что AM/AB = 82.5°/165° = 1/2.

Теперь мы можем найти отношение длин сторон NM к BN:

6. 1/2 = NM/BN

Теперь, для нахождения длины отрезка MN, нужно выразить его через BN, который мы также должны найти.

7. BN = BC + CN BN = 7 + 8 = 15

Теперь мы можем найти длину отрезка MN:

8. 1/2 = NM/15

Для нахождения NM умножим обе стороны на 15:

9. NM = (1/2) * 15 = 7.5

Итак, длина отрезка MN равна 7.5.