Question

Найдите все значения переменной x, если (x^2-2)(1 - sqrt(x^2 +1)) = -1

Answer 1

(x²-2)(1 - √(x² +1) ) = -1

√(x² +1) =а ,a>0 ⇒ x² +1=а² , х²=а²-1.

(а²-1 -2) (1-а)=-1,

(а²-3) (1-а)=-1,

а³ - а² - 3а +2=0 ⇒ а=2 корень ( подбор) .

(а-2)( а²+а-1)=0 ,

а²+а-1=0 , D=5 , a₁=( -1+√5)/2 , a₂= (-1-√5)/2 , (-1-√5)/2 <0 не подходит ,a>0 .

√(x² +1) =2 ,2>0 ⇒ x²+1=4 , x=±√3

√(x² +1) =( -1+√5)/2 , ( -1+√5)/2>0 ⇒ (x² +1) =( 1-2√5+5)/4 ,

x² =( 6-2√5-4)/4 ,

x² =( 1-√5)/2 , ( 1-√5)/2<0 корней нет

Ответ ±√3

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и найдем все его решения. Уравнение выглядит следующим образом:

(x^2 - 2)(1 - sqrt(x^2 + 1)) = -1

Сначала умножим обе стороны уравнения на -1, чтобы избавиться от отрицательного числа:

-(x^2 - 2)(1 - sqrt(x^2 + 1)) = 1

Теперь развернем уравнение:

(x^2 - 2)(sqrt(x^2 + 1) - 1) = 1

Мы можем выразить sqrt(x^2 + 1) - 1 как 1 - (sqrt(x^2 + 1)):

(x^2 - 2)(1 - sqrt(x^2 + 1)) = 1

Теперь у нас есть уравнение:

(x^2 - 2)(1 - sqrt(x^2 + 1)) = 1

Теперь раскроем скобки:

x^2 - 2 - x^2 + 1 = 1

x^2 - x^2 - 2 + 1 = 1

-2 + 1 = 1

-1 = 1

Это уравнение приводит к ложному утверждению, что -1 = 1. Такого не может быть. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.