Question

Решить дифференциальное уравнение. yy' = x, y(0)=1, (y(3))^2 = ?

Answer 1

Ответ:

$10$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y(x)\cdot y'(x)=x\\\\y(x)\cdot\dfrac{dy(x)}{dx}=x\\\\y(x)\cdot dy(x)=x\cdot dx\\\\\int y(x)\cdot dy(x)=\int x\cdot dx\\\\\dfrac12y^2(x)=\dfrac12x^2+\dfrac12c\\\\y^2(x)=x^2+c\\\\y(x)=\pm\sqrt{x^2+c}$

Подставим значение из условия $y(0)=1$

$1=\pm\sqrt{0^2+c}$

Так как корень всегда неотрицательный, ставим перед ним знак + - справа положительное число 1

$1=\sqrt{0^2+c}\\c=1$

Выразим $y^2(x)$

$y^2(x)=x^2+1$

Найдем $y^2(3)$

$y^2(3)=3^2+1=9+1=10$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с начальным условием y(0) = 1, мы можем воспользоваться методом разделения переменных.

Исходное уравнение: yy' = x

Давайте разделим переменные, переместив все термины, связанные с y, на одну сторону уравнения, а x на другую:

yy' = x dy/dx = x/y

Теперь мы можем разделить переменные и переписать уравнение следующим образом:

y dy = x dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1/y) dy = ∫x dx

Интегрируя обе стороны, получим:

ln|y| = (1/2)x^2 + C

где C - произвольная постоянная.

Теперь давайте применим начальное условие y(0) = 1:

ln|1| = (1/2) * 0^2 + C ln|1| = 0 + C C = 0

Теперь у нас есть:

ln|y| = (1/2)x^2

Теперь возведем обе стороны в экспоненту:

|y| = e^((1/2)x^2)

Так как мы знаем, что y(0) = 1, то y должно быть положительным, поэтому:

y = e^(1/2 * x^2)

Теперь мы можем найти значение y(3):

y(3) = e^(1/2 * 3^2) = e^(1/2 * 9) = e^(9/2)

(y(3))^2 = (e^(9/2))^2 = e^9

Итак, (y(3))^2 = e^9.