Question

Числа α, β, γ являются корнями уравнения x ^ 3-4x ^ 2 + 4 = 0. Каково значение выражения α ^3βγ + αβ^3 + αβγ^3? А) -72 В)72 С)16 Д)64 Е)-64

Answer 1

Ответ:

-64

Пошаговое объяснение:

Для решения нам потребуется теорема Виета (см. картинку)

А также формула

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

α³βγ+αβ³γ+αβγ³=αβγ(α²+β²+γ²)=αβγ((α+β+γ)²-2αβ-2βγ-2αγ)=αβγ((α+β+γ)²-2(αβ+βγ+αγ))=-4(4²-2*0)=-4*16=-64

Answer 2

Для нахождения значения выражения α^3βγ + αβ^3 + αβγ^3, мы можем воспользоваться симметричными свойствами корней уравнения.

Уравнение x^3 - 4x^2 + 4 = 0 можно записать в виде (x - α)(x - β)(x - γ) = 0, где α, β и γ - его корни.

Мы знаем, что сумма корней равна нулю, то есть α + β + γ = 0.

Теперь рассмотрим выражение α^3βγ + αβ^3 + αβγ^3. Мы можем записать его следующим образом:

α^3βγ + αβ^3 + αβγ^3 = αβγ(α^2 + β^2 + γ^2)

Теперь, мы можем возвести в квадрат выражение α + β + γ:

(α + β + γ)^2 = α^2 + β^2 + γ^2 + 2(αβ + βγ + αγ)

Мы знаем, что α + β + γ = 0, поэтому:

(α + β + γ)^2 = α^2 + β^2 + γ^2 + 2(αβ + βγ + αγ) = 0

Теперь мы можем выразить α^2 + β^2 + γ^2 через сумму попарных произведений корней:

α^2 + β^2 + γ^2 = -2(αβ + βγ + αγ)

Теперь вернемся к исходному выражению:

α^3βγ + αβ^3 + αβγ^3 = αβγ(α^2 + β^2 + γ^2) = αβγ * (-2(αβ + βγ + αγ)) = -2α^2β^2γ^2

Теперь мы знаем, что αβγ = 4 (по свойствам коэффициентов уравнения), поэтому:

-2α^2β^2γ^2 = -2 * 4^2 = -2 * 16 = -32

Итак, значение выражения α^3βγ + αβ^3 + αβγ^3 равно -32.

Правильный ответ: Е) -64