Question

Даю 25 баллов! Четверым мудрецам предложили испытание. Их по очереди приводят в зал и каждому дают на выбор два различных числа из набора 1, 2, 3. Мудрец выбирает одно из них и уходит. Каждому мудрецу (начиная со второго) сообщают, какое число выбрал предыдущий мудрец. Мудрецы знают, в каком порядке их приведут в зал. Докажите, что они могут так заранее договориться, чтобы сумма чисел, выбранных всеми четырьмя мудрецами, оказалась отлична от 8.

Answer 1

Всего 3 варианта пар чисел, которые могут выпасть мудрецам: 12, 13, 23.

Пусть 2 мудреца уже выбрали числа. Так как 2 мудрец знает число 1го, и 3 мудрец число 2-го, то им известна имеющаяся сумма, она от 3 до 6.

Если 4й знает число 3го, то он без проблем может выбрать нужное ему число

Если 3:

1)Третий - 2, четвертый 1 или 2

2)Третий - 3, четвертый 1 или 3

Если 4

1)Третий - 2, четвертый 1 или 3

2)Третий - 3, четвертый 2 или 3

Если 5:

1)Третий - 1, четвертый 1 или 3

2)Третий - 2, четвертый 2 или 3

Если 6:

1)Третий - 1, четвертый 2 или 3

2)Третий - 3, четвертый любое число

Answer 2

Давайте рассмотрим все возможные варианты чисел, которые могут выбрать первый и второй мудрецы. Всего у нас есть 3 * 3 = 9 таких возможных пар чисел. Отметим, что если первый мудрец выбрал 1 и второй мудрец тоже выбрал 1, то сумма выбранных ими чисел равна 2. Если первый мудрец выбрал 2 и второй мудрец выбрал 2, то сумма выбранных ими чисел также равна 4. Наконец, если первый мудрец выбрал 3 и второй мудрец выбрал 3, то сумма выбранных ими чисел равна 6.

Теперь рассмотрим третьего мудреца. Он знает, какое число выбрал второй мудрец, и может выбрать число так, чтобы сумма выбранных ими чисел была отличной от 8. Возможные варианты:

1. Если второй мудрец выбрал 1, то третий мудрец может выбрать 3 (1 + 3 = 4) или 2 (1 + 2 = 3). В обоих случаях сумма чисел будет отличной от 8.

2. Если второй мудрец выбрал 2, то третий мудрец может выбрать 1 (2 + 1 = 3) или 3 (2 + 3 = 5). В обоих случаях сумма чисел будет отличной от 8.

3. Если второй мудрец выбрал 3, то третий мудрец может выбрать 1 (3 + 1 = 4) или 2 (3 + 2 = 5). В обоих случаях сумма чисел будет отличной от 8.

Таким образом, первые три мудреца могут договориться так, чтобы сумма выбранных ими чисел была отличной от 8, независимо от выбора первого и второго мудрецов.

Аналогично, четвертый мудрец может выбрать число так, чтобы сумма его выбора и выбора третьего мудреца была отличной от 8, и он знает, какое число выбрал третий мудрец. Таким образом, четвертый мудрец может выбрать число так, чтобы сумма выбранных всеми четырьмя мудрецами чисел также была отличной от 8.

Таким образом, мудрецы могут заранее договориться так, чтобы сумма чисел, выбранных ими всеми, оказалась отличной от 8, независимо от исходных чисел, предоставленных им для выбора.