Question

Найдите количество натуральных чисел, принадлежащих отрезку [50;150], которые при делении на 3 имеют остаток 1, при делении на 4 - остаток 2, при делении на 5 - остаток 3 и при делении на 6 - остаток 4?

Answer 1

Ответ: 2 числа.

Пошаговое объяснение:

Сдвинем интервал на две единицы вправо, тогда имеем интервал:

[52; 152], тогда количество чисел кратных одновременно на 3,4,5,6 с данного интервала равно числу чисел дающих при делении на 3 -  остаток 1, при делении на 4 - остаток 2, при делении на 5 - остаток 3 и при делении на 6 - остаток 4.

Число чисел кратных:  3;4;5;6; эквивалентно числу чисел кратных: 3*2^2*5 = 60

Cреди чисел [52; 152] есть всего два таких числа:

60 и 120,  а значит нужные нам числа с промежутка [50;150]  равны:

58 и 118

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать китайскую теорему об остатках. Давайте рассмотрим каждое из условий по отдельности:

1. Число имеет остаток 1 при делении на 3.
2. Число имеет остаток 2 при делении на 4.
3. Число имеет остаток 3 при делении на 5.
4. Число имеет остаток 4 при делении на 6.

Для начала, найдем все натуральные числа, удовлетворяющие первым двум условиям:

• Остаток 1 при делении на 3 означает, что число можно представить как 3k + 1, где k - некоторое целое число.
• Остаток 2 при делении на 4 означает, что число можно представить как 4m + 2, где m - некоторое целое число.

Теперь мы можем объединить эти два условия и найти общее выражение:

3k + 1 = 4m + 2

Для поиска решений этого уравнения, давайте рассмотрим, какие значения k и m могут принимать:

• Если k = 1, то 3 * 1 + 1 = 4 * 1 + 2, удовлетворяя уравнению.
• Если k = 5, то 3 * 5 + 1 = 4 * 4 + 2, также удовлетворяя уравнению.

Таким образом, наши два значения k, которые удовлетворяют первым двум условиям, равны 1 и 5. Теперь мы можем перейти ко следующим двум условиям:

• Остаток 3 при делении на 5 означает, что число можно представить как 5n + 3, где n - некоторое целое число.
• Остаток 4 при делении на 6 означает, что число можно представить как 6p + 4, где p - некоторое целое число.

Теперь мы можем объединить эти два условия и найти общее выражение:

5n + 3 = 6p + 4

Для поиска решений этого уравнения, давайте рассмотрим, какие значения n и p могут принимать:

• Если n = 1, то 5 * 1 + 3 = 6 * 1 + 4, удовлетворяя уравнению.
• Если n = 7, то 5 * 7 + 3 = 6 * 11 + 4, также удовлетворяя уравнению.

Таким образом, наши два значения n, которые удовлетворяют всем четырем условиям, равны 1 и 7. Теперь мы можем найти соответствующие значения чисел:

1. Для k = 1 и n = 1: число равно 3k + 1 = 3 * 1 + 1 = 4.
2. Для k = 5 и n = 1: число равно 3k + 1 = 3 * 5 + 1 = 16.
3. Для k = 1 и n = 7: число равно 3k + 1 = 3 * 1 + 1 = 4.
4. Для k = 5 и n = 7: число равно 3k + 1 = 3 * 5 + 1 = 16.

Таким образом, есть два уникальных числа в интервале [50;150], которые удовлетворяют всем четырем условиям: 4 и 16.