Question

Даю 100 баллов. Доказать, что равенства верны (расписать левую часть и привести ее к правой). 1:(1*2)+1:(2*3) + 1:(3*4)+...+1:(1017* 1018)=1-1:1018.

Answer 1

1/n(n + 1) = (n + 1 - n)/n(n + 1) = 1/n - 1/(n + 1)

1/1*2 = 1 - 1/2

1/2*3 = 1/2 - 1/3

.......

1/(1*2)+1/(2*3) + 1/(3*4)+...+1/(1017* 1018) = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/1017 - 1/1018 = 1 - 1/1018

Answer 2

Ответ:

1-1/1018

Пошаговое объяснение:

каждую дробь представим в виде разности: 1/1×2=1-1/2;

1/2×3=1/2-1/3;

1/3×4=1/3-1/4

..........

1/1017×1018=1/1017-1/1018. тогда имеем:

$1 - \frac{1}{2 } + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + .... + \frac{1}{1017} - \frac{1}{1018} = 1 - \frac{1}{1018}$

что и требовалось доказать

Answer 3

Конечно, давайте докажем это равенство.

Исходное равенство:

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{1017 \cdot 1018}$

Для упрощения, заметим, что каждое слагаемое можно представить в виде разности двух дробей:

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

Теперь исходное равенство можно переписать следующим образом:

$\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{1017} - \frac{1}{1018}\right)$

Заметим, что большинство дробей в полученной сумме сокращаются:

$\left(1 - \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) - \ldots - \left(\frac{1}{1017} - \frac{1}{1018}\right)$

Остается только первое слагаемое (1), и последнее слагаемое (-1/1018):

$1 - \frac{1}{1018} = 1 - \frac{1}{1018}$

Таким образом, исходное равенство верно, и левая часть равна правой.