Question

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x^2+x и y=-x^2+7x (ответ округлить с точностью до десятых и записать в виде десятичной дроби).

Answer 1

Ответ:  4 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

Решение.

Строим графики функций   y=2x^2+x;  y=-x^2+7x .  (См. скриншот)

Площадь S=∫₀²(-x²+7x-2x²-x)dx=∫₀²(-3x²+6x)dx=-3∫₀²(x²)dx + 6∫₀²xdx=

=(-3x³/3+6x²/2)|₀²=(-x³+3x²)|₀²=(-8+3*4) - (-0³+3*0²)=-8+12=4 кв. ед.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, вы должны найти точки их пересечения и затем найти интеграл разности этих двух кривых вдоль оси x. Площадь фигуры будет равна модулю этого интеграла. Вашей первой задачей является нахождение точек пересечения этих двух кривых.

Итак, чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения к друг другу:

y = 2x^2 + x y = -x^2 + 7x

2x^2 + x = -x^2 + 7x

Теперь преобразуем это уравнение:

3x^2 - 6x = 0

Далее, делим обе стороны на 3x:

x(x - 2) = 0

Это уравнение имеет два решения:

1. x = 0
2. x = 2

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти значения x обратно в уравнения:

1. Для x = 0: y = 2(0)^2 + 0 = 0

2. Для x = 2: y = 2(2)^2 + 2 = 8 + 2 = 10

Теперь у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (2, 10).

Для нахождения площади фигуры между этими двумя кривыми, мы можем использовать интеграл:

S = ∫[0, 2] [(2x^2 + x) - (-x^2 + 7x)] dx

S = ∫[0, 2] (3x^2 + x) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

S = [x^3 + (x^2)/2] |[0, 2]

S = (2^3 + (2^2)/2) - (0^3 + (0^2)/2)

S = (8 + 4) - (0 + 0)

S = 12

Итак, площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, равна 12 квадратным единицам.