Question

Петя хочет написать семизначное число так, чтобы при вычёркивании любой цифры получалось бы шестизначное число, делящееся на 3. Сколькими способами он сможет это сделать?

Answer 1

Ответ: 16662

Пошаговое объяснение:

Число дает при делении на 3  тот же остаток, что и сумма его цифр.

Поскольку при вычеркивании любой цифры в числе сумма его цифр уменьшается на эту цифру и должна делится на 3, ибо число делится на 3,  остаток от деления на 3 любой из его цифр  равен остатку от деления этого числа на 3.

Предположим, что семизначное число дает при делении на 3 остаток p, тогда, если оно удовлетворяет требованиям, то все его цифры дают при делении на 3 остаток p, тогда сумма его 7 цифр дает тот же остаток остаток что и 7p при делении на 3, иначе говоря остаток от деления на 3 числа 7p должен быть равен p. Для остатков 0,1,2 это условие выполняется.

Для семизначных чисел дающих при делении на 3 остаток 1 или 2 могут применяться по 3 вида цифр: 1,4,7 и 2,5,8, соответственно, а вот для семизначных чисел делящихся на 3 уже могут применяться 4 вида цифр: 0,3,6,9. Но не нужно забывать, что в начале числа цифра 0 быть не может.

Найдем число вариантов, для семизначных чисел дающих остаток 1 или 2 при делении на 3.

Поскольку могут применяться 3 вида цифр отличных от 0, то на каждой из 7 позиций может быть любая из 3 цифр.

То есть общее число вариантов равно: 3^7

Для семизначных чисел кратных 3, на первой позиции возможно 3 числа (исключая 0), а на всех остальных позициях возможно 4 числа, иначе говоря, общее число вариантов для семизначных чисел кратных трем равно: 3 * 4^6

То есть общее число вариантов:

N = 2*3^7 + 3*4^6 = 4374 + 12288 = 16662

Answer 2

Чтобы семизначное число оставалось делящимся на 3 после вычеркивания любой цифры, сумма его цифр также должна быть кратна 3. Поскольку у нас есть 7 цифр, мы можем воспользоваться комбинаторикой.

Возможные варианты для суммы цифр, кратных 3, в пределах одной цифры от 1 до 9:

• 3 (1 + 2)
• 6 (3 + 3)
• 9 (6 + 3 или 9)
• 12 (9 + 3)

Теперь нужно рассмотреть, сколькими способами можно распределить эти суммы по 7 цифрам. Мы можем воспользоваться множителями:

• Для 3: C(7,1) = 7 (7 вариантов выбрать одну позицию из 7)
• Для 6: C(7,2) = 21 (7 вариантов выбрать две позиции из 7)
• Для 9: C(7,3) = 35 (7 вариантов выбрать три позиции из 7)
• Для 12: C(7,4) = 35 (7 вариантов выбрать четыре позиции из 7)

Теперь сложим все варианты: 7 + 21 + 35 + 35 = 98.

Таким образом, Петя сможет написать семизначное число, соответствующее условиям, 98 различными способами.