Question

Докажите, что из всех прямоугольников с площадью S = ab (статическая) периметр имеет минимальное значение, когда этот прямоугольник квадрат (a=b).

Answer 1

S=ab

P=2(a+b)

По неравенству  a+b>=2√(ab) то есть  

P>=4*√S

то есть P=4√S но выполняется тогда , когда (√a-√b)^2>=0 то есть a=b

Answer 2

Чтобы доказать, что прямоугольник с площадью S = ab имеет минимальный периметр, когда a = b (прямоугольник является квадратом), давайте воспользуемся методом математической оптимизации. Мы хотим найти минимальное значение периметра P для данной площади S = ab.

Периметр прямоугольника P можно выразить как:

P = 2a + 2b

Мы хотим найти значения a и b, при которых S = ab задано (статическое), и P минимально. Для этого мы можем воспользоваться методом переменных:

S = ab (статическая) P = 2a + 2b (мы хотим минимизировать эту функцию)

Теперь давайте выразим b из уравнения S = ab и подставим его в выражение для P:

b = S/a

P = 2a + 2(S/a)

Теперь мы имеем выражение для периметра P только через переменную a:

P = 2a + 2S/a

Чтобы найти минимум этой функции P, мы можем взять производную P по a и приравнять её к нулю:

dP/da = 2 - 2S/a^2 = 0

Теперь решим это уравнение для a:

2S/a^2 = 2

a^2 = S

a = √S

Таким образом, чтобы минимизировать периметр P при фиксированной площади S = ab, необходимо, чтобы a = √S, и b = √S. Это означает, что прямоугольник с минимальным периметром, имея заданную площадь S, будет квадратом, где a и b равны корню из S.