Question

Докажите, что треугольник с вершинами A(-5; 101), B(4; 99) и С(-12; 107) равнобедренный. Найдите длину высоты этого треугольника, опущенной на его основание.

Answer 1

Найдем длины сторон треугольника:

$AB=\sqrt{(4-(-5))^2+(99-101)^2} =\sqrt{9^2+(-2)^2} =\sqrt{85}$

$AC=\sqrt{(-12-(-5))^2+(107-101)^2} =\sqrt{(-7)^2+6^2} =\sqrt{85}$

$BC=\sqrt{(-12-4)^2+(107-99)^2} =\sqrt{(-16)^2+8^2} =\sqrt{320}=2\sqrt{80}$

Так как $AB=BC$, треугольник равнобедренный.

Найти требуемую высоту можно, например, пользуясь формулами площади треугольника.

Найдем полупериметр треугольника, чтобы впоследствии можно было удобно применить формулу Герона:

$p=\dfrac{AB+AC+BC}{2} =\dfrac{\sqrt{85} +\sqrt{85}+\sqrt{320}}{2} =\dfrac{2\sqrt{85}+2\sqrt{80}}{2} =\sqrt{85}+\sqrt{80}$

По формуле Герона получим:

$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} =$

$=\sqrt{(\sqrt{85}+\sqrt{80} )(\sqrt{85}+\sqrt{80}-\sqrt{85} )^2(\sqrt{85}+\sqrt{80}-2\sqrt{80} )} =$

$=\sqrt{(\sqrt{80})^2(\sqrt{85}+\sqrt{80} )(\sqrt{85}-\sqrt{80})} =\sqrt{(80\cdot ((\sqrt{85})^2-(\sqrt{80} )^2)} =$

$=\sqrt{(80\cdot (85-80)} =\sqrt{80\cdot 5}$

Теперь запишем площадь треугольника как половину произведения основания на высоту, причем в качестве высоты треугольника выберем искомую:

$S=\dfrac{1}{2} \cdot BC\cdot h=\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{80} \cdot h=\sqrt{80} \cdot h$

Приравнивая два значения площади, получим:

$\sqrt{80} \cdot h=\sqrt{80\cdot 5}$

$h=\sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

Answer 2

Для доказательства равнобедренности треугольника ABC нужно убедиться, что две из его сторон равны.

1. Найдем длины сторон треугольника:

Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

$AB = \sqrt{(4 - (-5))^2 + (99 - 101)^2}$

$AB = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}$

Длина стороны AC: $AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$

$AC = \sqrt{(-12 - (-5))^2 + (107 - 101)^2}$

$AC = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}$

Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}$

$BC = \sqrt{(-12 - 4)^2 + (107 - 99)^2}$

$BC = \sqrt{256 + 64} = \sqrt{320} = 4\sqrt{5}$

2. Проверим равенство сторон AB и AC:

$AB = AC = \sqrt{85}$

Таким образом, стороны AB и AC равны, и треугольник ABC является равнобедренным.

3. Найдем длину высоты, опущенной на основание треугольника:

Пусть H - высота, опущенная из вершины B на основание AC. Треугольник ABH является прямоугольным треугольником. Длина высоты H равна расстоянию от точки B до прямой AC. Используем формулу для расстояния от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0:

$h = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

где уравнение прямой AC имеет вид Ax + By + C = 0. Найдем коэффициенты A, B и C:

$A = y_A - y_C = 101 - 107 = -6$ $B = x_C - x_A = -12 - (-5) = -7$ $C = x_Ay_C - x_Cy_A = (-5)(107) - (-12)(101) = 535 + 1212 = 1747$

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

0 0