Question

В треугольнике ABC ( AB > BC ) K и M — середины сторон AB и AC, O — точка пересечения биссектрис. Пусть p — точка пересечения прямых KM и CO, а точка Q такова, что Qp ⊥ KM и QM || BO.Докажите, что QO ⊥ AC.​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Решение не мое, нашел на просторах интернета, но ,думаю, это не играет роли для тебя.

Отличная олимпиадная задачка

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами биссектрис, медиан, и условием параллельности.

Обозначим:

• $D$ - середина $BC$,
• $E$ - точка пересечения биссектрисы $CO$ с $AB$,
• $F$ - точка пересечения биссектрисы $BO$ с $AC$,
• $G$ - точка пересечения $QO$ с $AC$.

Мы знаем, что $K$ и $M$ - середины $AB$ и $AC$ соответственно, поэтому отрезок $KD$ - это медиана в треугольнике $ABC$.

Также, у нас есть $QM || BO$ и $Qp ⊥ KM$. Из этого следует, что $QM$ - это медиана в треугольнике $KQD$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $KQD$. У них обе медианы $KD$ и $QM$ проходят через одну и ту же точку $O$ (по условию задачи). По теореме Герона, точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении $2:1$. Таким образом, мы можем записать:

$BO:OF = KD:DE = 2:1$

Теперь рассмотрим треугольники $BMO$ и $CEF$. Они подобны, так как угол $BMO$ равен углу $CEF$ (как биссектрисы угла $BAC$), а углы при основании равны ($MO \parallel EF$, $BM \parallel CE$). Таким образом, мы можем записать:

$BO:OF = BM:ME$

Сравнив эти два уравнения, мы видим, что $BM:ME = KD:DE$, что означает, что точки $M$ и $E$ совпадают.

Теперь обратим внимание, что $MO \parallel EF$ и $MO$ проходит через $E$, поэтому $MO \parallel EF \parallel AC$. Также, у нас есть $QM || BO$. Следовательно, угол $QMO$ совпадает с углом $OFE$.

Таким образом, у нас есть:

$\angle QMO = \angle OFE$

Но $OFE$ - это угол между биссектрисой и медианой треугольника $ABC$. Такие углы равны. Следовательно:

$\angle QMO = \angle OEF$

Теперь рассмотрим треугольник $QOE$. Углы $QMO$ и $OEF$ равны, а угол $QOE$ общий для обоих треугольников. Таким образом, углы $QOE$ и $QMO$ также равны.

Но $QM ⊥ KM$, поэтому $\angle QMO = 90^\circ$.

Следовательно, у нас есть:

$\angle QOE = 90^\circ$

Это доказывает, что $QO ⊥ AC$.