Question

Дан треугольник ABC, в котором ∠B=60∘ и AB<BC. Через вершины A и C проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла B. Они пересекают прямые BCBC и ABAB в точках K и M соответственно. Найдите длину отрезка AK, если BM=8, KC=1.​

Answer 1

Ответ:

7 или 9

Пошаговое объяснение:

Пусть точка K расположена на стороне BC треугольника ABC. Треугольники ABK и MBC — равнобедренные (биссектриса, проведённая из вершины B, является высотой), поэтому

AB = BK = BC - CK = 8 - 1 = 7.

Если точка K расположена на продолжении отрезка BC за точку C, то аналогично найдём, что BC = 9.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрисы треугольника.

1. Из условия видно, что $\angle B = 60^\circ$, поэтому угол $\angle ABC$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

2. Также известно, что угол $\angle BAK$ является углом между биссектрисой и стороной треугольника, и он равен половине угла $\angle ABC$, т.е., $60^\circ$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Так как $\angle BAK = 60^\circ$, а $\angle ABK = 90^\circ$ (так как $AK$ проведен перпендикулярно $BM$), то треугольник $ABK$ является равносторонним.

4. Следовательно, $AK = AB$.

5. Теперь обратим внимание на треугольник $BKC$. С учетом равенства $AK = AB$ и того, что $BM = 8$ и $KC = 1$, можем записать уравнение:

$BK + KC = BM$

$BK + 1 = 8$

$BK = 7$

Таким образом, длина отрезка $AK$ равна $AB$, а $BK = 7$.