Question

Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC = 2, AD = 8, AC = 40. Найдите AO.​

Answer 1

Ответ:

АО = 32 ед.

Пошаговое объяснение:

Надо найти отрезок АО.

Дано: ABCD - трапеция;

АС и ВD - диагонали;

BC и AD - основания;

ВС = 2; AD = 8; AC = 40.

Найти: АО.

Решение:

Для того, чтобы найти АО, надо доказать подобие ΔВСО и ΔAOD.

1. Рассмотрим  ΔВСО и ΔAOD.

∠1 = ∠2 (накрест лежащие при ВС || AD и секущей BD)

∠3 = ∠4 (вертикальные)

⇒ ΔВСО ~ ΔAOD (по двум углам)

2. Запишем отношение сходственных сторон:

• Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

$\displaystyle \frac{BC}{AD}=\frac{OC}{AO}\;\;\;\;\;(1)$

ОС и АО нам неизвестны. Поэтому ОС примем за х. Тогда:

$\displaystyle OC=x;\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;\;AO=40-x$

Подставим значения BC = 2; AD = 8; OC = x; AO = 40 - x в выражение (1):

$\displaystyle \frac{2}{8}=\frac{x}{40-x}$

Используем основное свойство пропорции и решим уравнение:

• Произведение крайних равно произведению средних.

$\displaystyle 2(40-x)=8*x\\\\80-2x=8x\\\\80=10x\;\;\;|:10\\\\x=8$

Теперь можем найти АО:

$\displaystyle AO=40-x=40-8=32$

Значит искомый отрезок

АО = 32 (ед)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться подобием треугольников. Заметим, что треугольники ACO и BDO подобны друг другу, так как угол ACB и угол ADB равны (они вертикальные углы), и угол AOC и угол BOD равны (они также вертикальные углы).

Теперь мы можем записать отношение подобия треугольников ACO и BDO:

(ACO) / (BDO) = AO / BO

Где AO - это одна из диагоналей трапеции, а BO - другая диагональ.

Теперь мы можем подставить известные значения:

AC = 40 (длина AC) BC = 2 (длина BC) AD = 8 (длина AD)

Теперь найдем BO. Мы знаем, что BD - это половина AD, так как BD - это средняя линия трапеции, и она делит AD пополам:

BD = (1/2) * AD = (1/2) * 8 = 4

Теперь мы можем найти OD, используя те же пропорции, так как треугольники ADO и BCO также подобны:

(ADO) / (BCO) = AD / BC

OD / 4 = 8 / 2

OD / 4 = 4

OD = 4 * 4 = 16

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы найти AO, используя отношение подобия:

(ACO) / (BDO) = AO / BO

(40) / (16) = AO / BO

2.5 = AO / BO

Теперь умножим обе стороны на BO, чтобы найти AO:

AO = 2.5 * BO

Теперь мы должны найти BO. Мы знаем, что BO = BD + DO:

BO = 4 + 16 = 20

Теперь мы можем найти AO:

AO = 2.5 * 20 = 50

Итак, длина AO равна 50.

Answer 3

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством подобных треугольников в трапеции ABCD.

Сначала заметим, что треугольники AOC и BOD подобны друг другу, так как угол AOC равен углу BOD (они вертикальные углы), и угол CAO равен углу DBO (они соответственные углы). Таким образом, треугольники AOC и BOD подобны с коэффициентом пропорциональности k.

Теперь мы можем использовать свойство подобных треугольников: соотношение длин сторон треугольников равно коэффициенту подобия.

AC / BD = AO / BO = k

Мы знаем, что AC = 40 и BD = 2 (по данным задачи).

Из этого мы можем найти коэффициент k:

40 / 2 = AO / BO 20 = AO / BO

Теперь нам нужно найти BO. Для этого мы можем воспользоваться тем, что AO + BO = 8, так как AD = 8 (по данным задачи).

Мы уже знаем, что 20 = AO / BO, и AO + BO = 8. Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки:

AO = 20BO 20BO + BO = 8 21BO = 8 BO = 8 / 21

Теперь, когда у нас есть BO, мы можем найти AO:

AO = 20BO AO = 20 * (8 / 21) AO = 160 / 21

Итак, AO равно 160/21.