Question

В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка К так,что AK:KC=3:5, на стороне BC -точке L так что, BL:LC=2:1.Отрезки AL и BK пересекаются в точке М.Найдите площадь треугольника ABM, если площадь треугольника ABC равна 38

Answer 1

По теореме Менелая для треугольника BKC:

$\dfrac{CL}{LB}\cdot\dfrac{BM}{MK}\cdot\dfrac{KA}{AC}=1$

$\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{BM}{MK}\cdot\dfrac{3}{8}=1~~\Rightarrow~~\dfrac{BM}{MK}=\dfrac{4}{3}$

Рассмотрим отношение площадей треугольников ABC и ABL

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABL}}=\dfrac{\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin B}{\frac{1}{2}AB\cdot BL\cdot \sin B}=\dfrac{3}{2}~\Rightarrow~ S_{ABL}=\dfrac{2}{3}S_{ABC}=\dfrac{76}{3}$

Отношение площадей треугольников ABC и BKC:

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{BKL}}=\dfrac{\frac{1}{2}BC\cdot AC\sin C}{\frac{1}{2}BC\cdot CK\sin C}=\dfrac{8}{5}~~\Rightarrow~~S_{BKL}=\dfrac{95}{4}$

Аналогично, рассмотрим отношение площадей треугольников BKC и MBL

$\dfrac{S_{BKC}}{S_{BML}}=\dfrac{\frac{1}{2}BK\cdot BC\sin \alpha}{\frac{1}{2}BM\cdot BL\sin \alpha}=\dfrac{3\cdot7}{2\cdot4}=\dfrac{21}{8}~\Rightarrow~S_{BML}=\dfrac{190}{21}$

$S_{ABL}=S_{ABM}+S_{BML}$ отсюда найдём площадь треугольника ABM

$S_{ABM}=S_{ABL}-S_{BML}=\dfrac{76}{3}-\dfrac{190}{21}=\dfrac{114}{7}$

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать сходные треугольники и пропорции. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

Дано: Площадь треугольника ABC = 38. AK:KC = 3:5 и BL:LC = 2:1.

Сначала найдем отношения долей площадей в треугольниках ABC и AKC, а также в треугольниках ABC и BLC.

1. Отношение площадей треугольников AKC и ABC: Пусть площадь треугольника AKC равна S1, а площадь треугольника ABC равна 38. Тогда:

S1/S(ABC) = (AK/KC)² = (3/5)² = 9/25.

Теперь найдем S1:

S1 = (9/25) * 38 = 342/25.

2. Отношение площадей треугольников BLC и ABC: Пусть площадь треугольника BLC равна S2, а площадь треугольника ABC равна 38. Тогда:

S2/S(ABC) = (BL/LC)² = (2/1)² = 4/1.

Теперь найдем S2:

S2 = (4/1) * 38 = 152.

Теперь у нас есть площади треугольников AKC и BLC.

3. Теперь найдем площадь треугольника AKM. По условию, отрезки AL и BK пересекаются в точке М. Треугольник AKM подобен треугольнику AKB (по признаку AA):

AK/AB = KC/BC.

Так как AK:KC = 3:5 и AB:BC = 8:5 (из отношения BL:LC = 2:1), то:

AK/AB = (3/8) и KC/BC = (5/5) = 1.

Теперь мы можем найти отношение площадей треугольников AKM и AKB:

S(AKM)/S(AKB) = (AK/AB)² = (3/8)² = 9/64.

Теперь найдем площадь треугольника AKM:

S(AKM) = (9/64) * S(AKB).

4. Теперь найдем площадь треугольника AKB. Поскольку S(AKB) = S(ABC) - S(BLC), и мы уже знаем S(ABC) и S(BLC), то:

S(AKB) = 38 - 152 = -114.

Теперь мы можем найти площадь треугольника AKM:

S(AKM) = (9/64) * (-114).

Теперь мы можем найти абсолютное значение площади треугольника AKM:

|S(AKM)| = (9/64) * 114 = 159.75.

Итак, площадь треугольника ABM равна 159.75.