Question

Помогите решить диф.уравнение y'+y+y^2=0

Answer 1

$y=\frac{e^{c-x}}{1-e^{c-x}}$

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Уравнение имеет вид:

y' + y + y^2 = 0

Это дифференциальное уравнение нелинейное, и оно не имеет аналитического решения в виде элементарных функций. Однако, мы можем попробовать решить его с помощью метода разделения переменных.

Давайте попробуем преобразовать уравнение:

y' + y + y^2 = 0

y' = -y - y^2

Теперь мы можем попробовать разделить переменные, переместив все выражения с y на одну сторону и все выражения с t на другую:

dy / (y + y^2) = -dt

Теперь интегрируем обе стороны:

∫ (1 / (y + y^2)) dy = ∫ -dt

Для интегрирования левой стороны уравнения, давайте разложим дробь на простейшие дроби:

1 / (y + y^2) = 1 / y - 1 / (y + 1)

Теперь мы можем интегрировать:

∫ (1 / y - 1 / (y + 1)) dy = ∫ -dt

ln|y| - ln|y + 1| = -t + C

Теперь объединим логарифмы с помощью правила логарифмов:

ln|y / (y + 1)| = -t + C

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|y / (y + 1)| = e^(-t + C)

Следующим шагом учтем абсолютное значение:

y / (y + 1) = ±e^(-t + C)

Теперь разберемся с константой C. Мы можем переписать ее как C = ln|K|, где K - положительная константа. Тогда:

y / (y + 1) = ±e^(-t) * e^ln|K|

Теперь объединим константу e^ln|K| в новую константу K:

y / (y + 1) = ±Ke^(-t)

Теперь решим это уравнение относительно y. Для этого сначала учтем знак ±:

1. При +:

y / (y + 1) = Ke^(-t)

Умножим обе стороны на (y + 1):

y = Ke^(-t)(y + 1)

Раскроем скобки:

y = Ky e^(-t) + Ke^(-t)

2. При -:

y / (y + 1) = -Ke^(-t)

Умножим обе стороны на (y + 1):

y = -Ke^(-t)(y + 1)

Раскроем скобки:

y = -Ky e^(-t) - Ke^(-t)

Таким образом, мы получаем два общих решения данного дифференциального уравнения:

1. y = Ky e^(-t) + Ke^(-t)
2. y = -Ky e^(-t) - Ke^(-t)

Где K - произвольная постоянная.