Question

Докажите, что: а) 7^21 + 7^19 делится на 25; б) 81^3 - 3^9 делится на 13; С объяснением, пожалуйста. Спасибо за помощь!)

Answer 1

Ответ:

а)7^21 + 7^19 = 7^19 (7^2 + 1) = 7^19 * 50 = = > так как 1 из множителей делится на 25, то и всё произведение делится на 25

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из данных случаев.

а) Докажем, что $7^{21} + 7^{19}$ делится на 25.

Сначала заметим, что $7^{21}$ и $7^{19}$ имеют общий множитель $7^{19}$:

$7^{21} + 7^{19} = 7^{19}(7^2 + 1)$

Теперь давайте рассмотрим $7^2 + 1$. Это равно 50:

$7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$

Итак, мы видим, что $7^{21} + 7^{19} = 7^{19} \cdot 50$. Мы уже знаем, что $7^{19}$ является множителем, и оставшаяся часть $50$ также является множителем числа 25:

$7^{21} + 7^{19} = 7^{19} \cdot 50 = 7^{19} \cdot 25 \cdot 2$

Таким образом, мы доказали, что $7^{21} + 7^{19}$ делится на 25.

б) Теперь докажем, что $81^3 - 3^9$ делится на 13.

Сначала разложим $81^3$:

$81^3 = (3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$

Теперь заметим, что $3^9$ и $3^{12}$ имеют общий множитель $3^9$:

$81^3 - 3^9 = 3^{12} - 3^9$

Теперь мы можем применить разность кубов:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

В нашем случае $a = 3^{12}$ и $b = 3^9$:

$3^{12} - 3^9 = (3^9)(3^3 - 1 + 1) = (3^9)(27 - 1 + 1) = (3^9)(27) = (3^9)(3^3)$

Теперь мы видим, что $81^3 - 3^9 = 3^{12} - 3^9 = 3^9 \cdot 3^3$, и так как $3^3 = 27$ делится на 13, то и $3^{12} - 3^9$ делится на 13.

Таким образом, мы доказали, что $81^3 - 3^9$ делится на 13.