Question

найдите площадь криволинейной трапеции,ограниченной осью ox, прямыми x=-2 и x=1 графиком функции y=4-x2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рисуем графики функций, определяем искомую трапецию, пределы интегрирования и подынтегральную функцию

$\displaystyle S= \int\limits^a_b {(y_1(x)-y_2(x))} \, dx$

у нас

a = 1

b = -2

за у₁ принимают функцию, график которой лежит "выше" на координатной плоскости. у нас это

у₁ = 4-х²

тогда

у₂ = 0 (это из условия ограниченной осью ox)

тогда наш интеграл

$\displaystyle S=\int\limits^1_{-2} {(4-x^2) } \, dx =4\int\limits^1_{-2} { } \, dx =-\int\limits^1_{-2} {(x^2) } \, dx =4x\bigg |_{-2}^1-\frac{x^3}{3} \bigg |_{-2}^1=12-3=9$

Answer 2

Хорошо, давайте найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x = -2, x = 1 и графиком функции y = 4 - x^2.

Сначала определим точки пересечения графика функции с указанными прямыми:

1. Для x = -2: y = 4 - (-2)^2 = 0 Точка: (-2, 0)

2. Для x = 1: y = 4 - 1^2 = 3 Точка: (1, 3)

Теперь мы можем нарисовать график:

luaCopy code
   ^
   |    +         *
   |          *
   |    *   *
   | *    
   +----------------->
  -2           1

Трапеция ограничена осью x, прямыми x = -2 и x = 1, а также графиком функции.

Формула для площади трапеции:

$S = \frac{h}{2} \cdot (a + b)$

где $h$ - высота трапеции (расстояние между x = -2 и x = 1), $a$ и $b$ - длины оснований (высоты на соответствующих концах).

Высота $h = 3 - 0 = 3$ (разница y-координат точек (1, 3) и (-2, 0)).

Длина основания $a = 1 - (-2) = 3$ (разница x-координат точек (1, 3) и (-2, 0)).

Длина основания $b = 0$ (так как трапеция ограничена осью x).

Теперь подставим значения в формулу:

$S = \frac{3}{2} \cdot (3 + 0) = \frac{9}{2} = 4.5$

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 4.5 квадратных единиц.