Question

Найдите наибольшее целое положительное значение x, удовлетворяющее неравенству log9(x−3)⋅logx−3(x+4)≥log29(x+4).

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение дано на фото.

Answer 2

Ответ:     х = 5 .      

Пошаговое объяснение:

log₉(x−3)⋅log₍ₓ₋₃₎(x+4)≥log₉²(x+4) ;         ОДЗ : хЄ( 3 ; 4 ) U ( 4 ;+ ∞ )

log₉(x−3)⋅( log₉(x+4)/log₉(x- 3) ≥ log₉²(x+4) ;

log₉²(x+4) ≤  log₉(x+4) ;    заміна   z =  log₉(x+4) ;

z² - z ≤ 0 ;   z₁ = 0 ,  z₂ = 1 ;    z Є [ 0 ; 1 ] ; тоді

0 ≤  log₉(x+4) ≤ 1 ;

1 ≤ х + 4 ≤ 9 ;

- 3 ≤ х ≤ 5 ; співставивши з ОДЗ ,  маємо : х Є( 3 ; 4 ) U ( 4 ; 5] .

Най більший цілий додатний корінь х = 5 .    

 

Answer 3

Давайте начнем с решения данного неравенства. Для удобства заметим, что все логарифмы имеют одну и ту же базу 9:

log9(x-3) * log(x-3)(x+4) ≥ log9^2(x+4).

Теперь воспользуемся свойством логарифмов, которое позволяет переписать левую сторону неравенства следующим образом:

log9(x-3) * log9(x-3)(x+4) ≥ log9^2(x+4).

Затем применим неравенство Коши-Буняковского (неравенство Коши-Шварца), чтобы оценить произведение двух логарифмов:

[log9(x-3) * log9(x-3)(x+4)] ≤ [log9^2(x-3)] * [log9^2(x+4)].

Теперь у нас есть следующее неравенство:

[log9^2(x-3)] * [log9^2(x+4)] ≥ log9^2(x+4).

Для того чтобы упростить это неравенство, давайте заметим, что log9^2(x-3) и log9^2(x+4) являются квадратами логарифмов, и мы можем представить их как следующие:

log9^2(x-3) = [log9(x-3)]^2, log9^2(x+4) = [log9(x+4)]^2.

Теперь наше неравенство выглядит так:

[log9(x-3)]^2 * [log9(x+4)]^2 ≥ log9^2(x+4).

Теперь мы можем избавиться от квадратов, взяв квадратный корень с обеих сторон:

log9(x-3) * log9(x+4) ≥ log9(x+4).

Теперь давайте уберем log9(x+4) с обеих сторон, разделив обе стороны на log9(x+4):

log9(x-3) ≥ 1.

Теперь возьмем обратный логарифм от обеих сторон:

x-3 ≥ 9.

Теперь прибавим 3 к обеим сторонам:

x ≥ 12.

Итак, наибольшее целое положительное значение x, удовлетворяющее данному неравенству, равно 12.