Question

Антон задумал четыре неотрицательных числа и посчитал их всевозможные попарные суммы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какие числа он задумал?

Answer 1

Ответ:

Пусть Антон задумал числа a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Все суммы различны, поэтому самая маленькая из посчитанных сумм — c + d, следующая за ней — d + b, также самая большая — a + b, а следующая за ней — a + c.

Значит,

c + d = 1, d + b = 2, a + b = 6, a + c = 5.

Тогда c = 1 − d, b − c = 1, b = c + 1 = 2 − d, a = 5 − c = 4 + d.

Заметим, что a + d = 4 + 2d и b + c = 3 − 2d есть числа 3 и 4 в некотором порядке. Число d неотрицательно, значит, a + d ≥ 4 и b + c ≤ 3, значит, d = 0,тогда c = 1, b = 2, a = 4.

Answer 2

Давайте рассмотрим все возможные попарные суммы чисел, которые задумал Антон:

1. Сумма первого и второго числа: 1 + 2 = 3.
2. Сумма первого и третьего числа: 1 + 3 = 4.
3. Сумма первого и четвертого числа: 1 + 4 = 5.
4. Сумма второго и третьего числа: 2 + 3 = 5.
5. Сумма второго и четвертого числа: 2 + 4 = 6.
6. Сумма третьего и четвертого числа: 3 + 4 = 7.

Теперь мы видим, что Антон задумал четыре числа, которые при этом неотрицательны и дают все возможные попарные суммы: 1, 2, 3 и 4.