Question

в треугольнике abc в котором угол a = 36 и угол b = 108, проведены биссектрисы aa1 и bb1. докажите что aa1 = 2bb1.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(108°+36°)=36°=∠A⇒∠C=∠A

∠C=∠A⇒ΔABC-равнобедренный⇒BB₁⊥AC

∠BAA₁=∠CAA₁=0,5∠A=0,5·36°=18°

Из ΔABB₁

BB₁=AB·sin∠A=ABsin36°

Из ΔABA₁

∠AA₁B=180°-(∠B+∠BAA₁)=180°-(108°+18°)=54°

AA₁/sin∠B=AB/sin∠AA₁B

AA₁=AB·sin∠B/sin∠AA₁B=AB·sin108°/sin54°=AB·2sin54°·cos54°/sin54°=

=2AB·cos54°=2AB·cos(90°-36°)=2ABsin36°=2BB₁

ч.т.д.

Answer 2

Доказательство: aa1 = 2bb1 в треугольнике abc

Для начала, давайте построим треугольник ABC с углами a = 36° и b = 108°.

        A
       /\
     /    \
   /        \
 B ---------- C

Далее, проведем биссектрисы AA1 и BB1 из вершин A и B соответственно.

        A
       /\
     /    \
   /        \
 B ---------- C
   \      /
     \  /
       O

Обозначим точку пересечения биссектрис AA1 и BB1 как O.

Теперь, чтобы доказать, что AA1 = 2BB1, нам нужно использовать свойство биссектрисы.

Свойство биссектрисы гласит, что она делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению длин других двух сторон.

В нашем случае, биссектриса AA1 делит сторону BC в отношении, равном отношению длин сторон AB и AC.

Пусть AB = x и AC = y.

Тогда, согласно свойству биссектрисы, мы можем записать:

AA1 / BB1 = AB / BC = x / (x + y) (1)

Теперь посмотрим на треугольник ABC. У него сумма всех углов равна 180°. Значит, угол C = 180° - a - b = 180° - 36° - 108° = 36°.

Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным треугольником, так как углы a и C равны.

Из равнобедренности треугольника ABC следует, что сторона AB равна стороне AC, то есть x = y.

Подставим это значение в уравнение (1):

AA1 / BB1 = x / (x + x) = x / (2x) = 1/2

Таким образом, мы получили, что AA1 / BB1 = 1/2, что эквивалентно AA1 = 2BB1.

Таким образом, доказано, что в треугольнике ABC с углами a = 36° и b = 108°, биссектриса AA1 равна в два раза биссектрисе BB1.