Question

СРОЧНО найти площадь треугольника если гипотенуза равна 13 см,а разность катетов равна 7​

Answer 1

Пусть x – меньший катет, тогда x + 7 – больший

По формуле $a^2+b^2=c^2$, где c – гипотенуза, а – меньший катет, b – больший, можно найти a и b, подставляя их значения

$x^2+(x+7)^2=13^2\\\\x^2+x^2+14x+49=169\\\\2x^2+14x+49-169=0\\\\2x^2+14x-120=0$

Далее решаем полученное квадратное уравнение

$2x^2+14x-120=0\\\\\boxed{D = b^2-4ac}\\\\D= 14^2-4\cdot2(-120)=1156$

1156 > 0  ⇒  2 корня

$\sqrt{1156}=34\\\\\left\begin{array}{lcl}x_1=\dfrac{-14-34}{2\cdot2}=-12\\\\x_2=\dfrac{-14+34}{2\cdot2}=5\end{array}\right \qquad\qquad\boxed{x_{1,2}=\dfrac{-b\underline+\sqrt{D}}{2a}}$

Через дискриминант легче, но если нужна Т. Виета:

$\boxed{\begin{cases}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\x_1\cdot x_2 = \dfrac{c}{a}\end{cases}}\\\\\\\begin{cases}x_1+x_2=-\dfrac{14}{2}=-7\\\\x_1\cdot x_2 = \dfrac{-120}{2}=-60\end{cases}\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}x_1=-12\\x_2=5\end{cases}$

x₁ нам не подходит, поскольку значение не может быть отрицательным;

Значит, меньший катет равен 5 см

Тогда больший катет = x + 7 = 5 + 7 = 12 см

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$S=\dfrac{5\cdot12}2=30\; cm^2$

Ответ: S = 30 см²

Answer 2

Конечно, давай разберемся. Мы можем воспользоваться формулой Пифагора и знанием формулы для площади треугольника.

1. Из формулы Пифагора для прямоугольного треугольника имеем: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

2. У нас \(c = 13\) см и \(a - b = 7\).

3. Подставим значение разности катетов в формулу Пифагора: \(13^2 = a^2 + (a-7)^2\).

4. Решим уравнение для нахождения \(a\).

\[169 = a^2 + (a-7)^2\]

5. Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[169 = a^2 + a^2 - 14a + 49\]

\[2a^2 - 14a + 49 - 169 = 0\]

\[2a^2 - 14a - 120 = 0\]

6. Решим квадратное уравнение. Можно поделить обе стороны на 2, чтобы упростить:

\[a^2 - 7a - 60 = 0\]

7. Разложим на множители:

\[(a - 12)(a + 5) = 0\]

8. Получаем два значения \(a\): \(a = 12\) или \(a = -5\). Так как длины не могут быть отрицательными, отбросим \(a = -5\).

9. Теперь, найдем значение \(b\): \(b = a - 7 = 12 - 7 = 5\).

10. Теперь, у нас есть значения всех сторон треугольника: \(a = 12\), \(b = 5\), \(c = 13\).

11. Можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30\]

Таким образом, площадь треугольника равна 30 квадратным сантиметрам.