Question

Доказать,что (7^2n)-1)кратно 12

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) способ

7^2n-1=(7^2)^n-1=49^n-1=(49-1)(49^(n-1)+49^(n-2)+49^(n-3)+...+1)=

=48(49^(n-1)+49^(n-2)+49^(n-3)+...+1)=48A=12·4A

2) способ

49≡1(mod 12)

7^2n-1=(7^2)^n-1=49^n-1≡1^n-1≡1-1≡0(mod 12)

ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства, что выражение \(7^{2n} - 1\) делится на 12 для любого целого числа \(n\), мы можем воспользоваться методом математической индукции.

База индукции (n = 1): Подставим \(n = 1\) в выражение \(7^{2n} - 1\): \[7^{2 \cdot 1} - 1 = 49 - 1 = 48.\]

48 делится на 12 (48 = 12 * 4), поэтому база индукции верна для \(n = 1\).

Индукционный шаг: Предположим, что утверждение верно для некоторого целого числа \(k\), т.е. предположим, что \[7^{2k} - 1\] делится на 12.

Теперь рассмотрим выражение при \(n = k + 1\): \[7^{2(k+1)} - 1 = 7^{2k + 2} - 1.\]

Мы можем представить \(7^{2k + 2}\) как произведение \(7^{2k}\) и \(7^2\): \[7^{2(k+1)} - 1 = (7^{2k} \cdot 7^2) - 1 = 7^{2k} \cdot 49 - 1.\]

Теперь мы знаем, что \(7^{2k} - 1\) делится на 12 по предположению индукции. Пусть \(7^{2k} - 1 = 12m\), где \(m\) - некоторое целое число.

Тогда \[7^{2(k+1)} - 1 = 7^{2k} \cdot 49 - 1 = 7^{2k} \cdot (12 \cdot 4) - 1 = (12m) \cdot 4 \cdot 7^2 - 1.\]

Выражение \((12m) \cdot 4 \cdot 7^2\) является произведением 12 и некоторого целого числа, следовательно, оно делится на 12.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для \(n = k\), то оно верно и для \(n = k + 1\), и, следовательно, верно для всех целых чисел \(n\) больше или равных 1 по принципу математической индукции.

Таким образом, мы доказали, что \(7^{2n} - 1\) делится на 12 для любого целого числа \(n\).